Como você encontra o comprimento da curva # x = 3t-t ^ 3 #, # y = 3t ^ 2 #, em que #0 <= t <= sqrt (3) #?

A resposta é #6sqrt3#.

O comprimento de arco de uma curva paramétrica pode ser encontrado usando a fórmula: #L=int_(t_i)^(t_f)sqrt(((dx)/(dt))^2+((dy)/(dt))^2)dt#. Desde a #x# e #y# são perpendiculares, não é difícil ver por que isso calcula o comprimento do arco.

Não é muito diferente do comprimento de arco de uma função regular: #L=int_a^b sqrt(1+((dy)/(dx))^2)dx#. Se você precisar da derivação da fórmula paramétrica, faça-a como uma pergunta separada.

Encontramos os derivados 2:
#(dx)/(dt)=3-3t^2#
#(dy)/(dt)=6t#

E nós os substituímos na integral:
#L=int_0^(sqrt3)sqrt((3-3t^2)^2+(6t)^2)dt#

E resolva:
#=int_0^(sqrt3)sqrt(9-18t^2+9t^4+36t^2)dt#
#=int_0^(sqrt3)sqrt(9+18t^2+9t^4)dt#
#=int_0^(sqrt3)sqrt((3+3t^2)^2)dt#
#=int_0^(sqrt3)(3+3t^2)dt#
#=3t+t^3|_0^(sqrt3)#
#=3sqrt3+3sqrt3#
#=6sqrt3#

Esteja ciente de que o arclength geralmente tem uma função difícil de integrar. A maioria das funções integráveis ​​se parece com a acima, onde um binômio é elevado ao quadrado e a adição dos dois termos fará com que o sinal do binômio seja alterado.