Como você encontra o comprimento de uma curva no cálculo?

Vamos usar coordenadas cartesianas para esta explicação.

Se considerarmos uma curva arbitrária definida como #y = f(x)# e está interessado no intervalo #x in [a,b]#, podemos aproximar o comprimento da curva usando segmentos de linha muito pequenos.

Considere um ponto na curva #P_i#. Podemos calcular a distância de um segmento de linha encontrando a diferença entre dois pontos consecutivos na linha #|P_i - P_(i-1)|# para #i in [1, n]# onde #n# é o número de pontos que definimos na curva.

Isso significa que o comprimento total aproximado da curva é simplesmente uma soma de todos esses segmentos de linha:

#L approx sum_(i=1)^n |P_i - P_(i-1)|#

Se queremos o comprimento exato da curva, podemos assumir que todos os pontos são infinitesimamente separados. Agora tomamos o limite de nossa soma como #n -> oo#.

#L = lim_(n-> oo) sum_(i=1)^n |P_i - P_(i-1)|#

Desde que estamos trabalhando no #xy#No plano, podemos redefinir nossa distância entre pontos para assumir a definição típica de distância euclidiana.

#|P_i - P_(i-1)| = sqrt((y_i-y_(i-1))^2 + (x_i-x_(i-1))^2)= sqrt(delta y^2 + delta x^2)#

Agora podemos aplicar o Teorema do Valor Médio, que afirma que existe um ponto #x_i^'# deitado no intervalo #[x_(i-1),x_i]# de tal modo que

#=>f(x_i)-f(x_(i-1)) = f'(x_i^') (x_i - x_(i-1))#

que também poderíamos escrever (usando a notação que estamos usando) como

#=>delta y = f'(x_i^')delta x#

A aplicação disso significa que agora temos

#|P_i - P_(i-1)| = sqrt([f'(x_i^') delta x]^2 + delta x^2)#

Simplificar um pouco essa expressão nos dá

#|P_i - P_(i-1)| = sqrt([f'(x_i^')]^2 delta x^2 + delta x^2)#

#|P_i - P_(i-1)| = sqrt(([f'(x_i^')]^2 + 1)delta x^2)#

#|P_i - P_(i-1)| = sqrt((1+[f'(x_i^')]^2)) delta x#

Agora podemos usar essa nova definição de distância para nossos pontos em nosso somatório.

#L = lim_(n-> oo) sum_(i=1)^n sqrt((1+[f'(x_i^')]^2)) delta x#

As somas são boas, mas as integrais são melhores para circunstâncias contínuas! É fácil escrever isso como uma integral definida, pois integrais e somas são ferramentas de "soma". Na integral, também podemos descartar nosso índice de soma.

#L = int_a^b sqrt((1+[f'(x)]^2)) delta x#

Escrever isso um pouco mais normalmente gera

#color(blue)(L = int_a^b sqrt((1+((dy)/(dx))^2)) dx)#

Chegamos ao nosso resultado! Em geral, o comprimento é geralmente definido para um diferencial de comprimento de arco #ds#

#L = int_a^b ds#

onde #ds# é definido de acordo com o tipo de sistema de coordenadas em que você está trabalhando. No entanto, eu queria que a explicação fosse mais clara, então escolhi os cartesianos por simplicidade. Você também pode usar coordenadas polares ou esféricas simplesmente fazendo as substituições necessárias.

Em geral, você precisa usar a derivada da função que define sua curva para substituir a integral. O truque é encontrar uma maneira (geralmente) de tentar obter um quadrado perfeito dentro da raiz quadrada para simplificar a integral e encontrar sua solução. Varia para cada tipo de curva.

Entre em contato se tiver mais alguma dúvida nos comentários!