Como você encontra o ponto na linha # y = 4x + 7 # que está mais próximo do ponto (0, -3)?

A distância entre e ponto arbitrário #(x,y)=(x,4x+7)# nesta linha e no ponto #(0,-3)# is #sqrt{(x-0)^2+(4x+7-(-3))^2}=sqrt{17x^{2}+80x+100}#.

Minimizar a distância ao quadrado ocorrerá no mesmo valor de #x# onde a distância é minimizada, podemos nos concentrar em minimizar a função #f(x)=17x^{2}+80x+100#. Sua derivada é #f'(x)=34x+80#, que tem uma raiz em #x=-80/34=-40/17approx -2.353#.

Que esse valor de #x# distância mínima é clara, já que o gráfico de #f(x)# é uma parábola que se abre para cima, embora você também possa observar que a segunda derivada é #f''(x)=34>0# para todos #x#, tornando o gráfico de #f# côncavo.

Quando #x=-40/17#, #y=4cdot(-40/17)+7=frac{119-160}{17}=-41/17#. Portanto, o ponto #(x,y)=(-40/17,-41/17)# é o ponto na linha #y=4x+7# que está mais próximo do ponto #(0,-3)#. A distância mínima em si é #sqrt{f(-40/17)}=sqrt{100/17}=10/sqrt(17)=frac{10sqrt{17)}{17} approx 2.425#.

Aqui está uma foto para esta situação. O segmento de linha cruza a linha especificada em um ângulo reto.