Como você encontra o ponto na linha y = 4x + 7 y=4x+7 que está mais próximo do ponto (0, -3)?
A distância entre e ponto arbitrário (x,y)=(x,4x+7)(x,y)=(x,4x+7) nesta linha e no ponto (0,-3)(0,−3) is sqrt{(x-0)^2+(4x+7-(-3))^2}=sqrt{17x^{2}+80x+100}√(x−0)2+(4x+7−(−3))2=√17x2+80x+100.
Minimizar a distância ao quadrado ocorrerá no mesmo valor de xx onde a distância é minimizada, podemos nos concentrar em minimizar a função f(x)=17x^{2}+80x+100f(x)=17x2+80x+100. Sua derivada é f'(x)=34x+80, que tem uma raiz em x=-80/34=-40/17approx -2.353.
Que esse valor de x distância mínima é clara, já que o gráfico de f(x) é uma parábola que se abre para cima, embora você também possa observar que a segunda derivada é f''(x)=34>0 para todos x, tornando o gráfico de f côncavo.
Quando x=-40/17, y=4cdot(-40/17)+7=frac{119-160}{17}=-41/17. Portanto, o ponto (x,y)=(-40/17,-41/17) é o ponto na linha y=4x+7 que está mais próximo do ponto (0,-3). A distância mínima em si é sqrt{f(-40/17)}=sqrt{100/17}=10/sqrt(17)=frac{10sqrt{17)}{17} approx 2.425.
Aqui está uma foto para esta situação. O segmento de linha cruza a linha especificada em um ângulo reto.
