Como você encontra o valor exato de tan 5pi / 12?

Responda:

(2 + sqrt3)

Explicação:

Use a tabela trigonométrica de arcos especiais, círculo unitário, propriedade dos arcos complementares:
$tan ((5pi)/12) = tan ((6pi)/12 - pi/12) = tan (pi/2 - (pi)/12) = cot (pi/12) = 1/(tan (pi/12)$ (1)
Primeiro, encontre $tan (pi/12)$ . Chamar $tan (pi/12) = tan t$ --->
$tan 2t = tan (pi/6) = 1/sqrt3$
Use a identidade trigonométrica: $tan 2t = (2tan t)/(1 - tan^2 t)$ .
Nesse caso:
$(2tan t)/(1 - tan^2 t) = 1/sqrt3$
$tan^2 t + 2sqrt3tan t - 1 = 0$ .
Resolva esta equação quadrática para tan t.
$D = d^2 = b^2 - 4ac = 12 + 4 = 16$ -> $d = +- 4$
Existem raízes reais da 2:
$tan t = - sqrt3 +- 2$ .
Desde $tan (pi/12)$ é positivo, pegue o valor positivo.
$tan t = tan (pi/12) = 2 - sqrt3$ .
Voltar à equação (1) ->
$tan ((5pi)/12) = 1/(tan (pi/12)) = 1/(2 -sqrt3) =$
Multiplique o numerador e o denominador por $(2 - sqrt3)$
$tan ((5pi)/12) = (2 + sqrt3)/(4 - 3) = 2 + sqrt3$