Como você encontra o volume do sólido no primeiro octante, que é delimitado pelos planos de coordenadas, o cilindro # x ^ 2 + y ^ 2 = 9 # e o plano x + z = 9?

Os gráficos do avião #x+z=9# e a superfície #x^2+y^2=9# são como segue:

Podemos usar uma integral tripla para representar o volume da seguinte forma:

# v= int int int_R dV#

onde

#R={ (x,y,z) | x,y,z>0; x^2+y^2<=9; z<9-x }#

E assim podemos configurar uma integral dupla da seguinte maneira:

# v= int_a^b int_c^d f(z) dx dy #
# = int_a^b int_c^d (9-x) dx dy #

Agora, determinamos os limites da integração examinando uma seção transversal no #xy#plano que é um quarto de círculo de raio 3 centrado no #O#, e por isso temos:

# 0 le x le sqrt(9-y^2)# and # 0 le y le 3#

Portanto, nossa integral para o volume é:

# v= int_0^3 int_0^(sqrt(9-y^2)) (9-x) dx dy #

Com a integral aninhada, avaliamos de dentro para fora, então vamos lidar com a integral interna;

# int_0^(sqrt(9-y^2)) (9-x) dx = [9x-1/2x^2]_0^(sqrt(9-y^2)) #
# " " = 9(sqrt(9-y^2))-1/2(sqrt(9-y^2))^2 #
# " " = 9sqrt(9-y^2)-1/2(9-y^2) #

E assim nossa integral dupla agora se torna:

# v= int_0^3 {9sqrt(9-y^2)-1/2(9-y^2) } dy #

E para essa integral, podemos dividir em duas partes

# I_1 = int_0^3 9sqrt(9-y^2) dy# and # I_2 = int_0^3 -1/2(9-y^2) dy #

Podemos apenas avaliar a segunda integral para obter:

# I_2 = -1/2[ 9y-1/3y^3 ]_0^3 #
# = (-1/2){(9)(3)-1/3(27) - 0} #
# = -9 #

E para a primeira integral usamos a substituição #y=3sinu#, que fornece o resultado:

# I_1 = 9 int_0^3 sqrt(9-y^2) dy #
# = 9 [ysqrt(9-y^2)/2 + 9/2 arcsin(y/3) ]_0^3 #
# = 9 {(0+9/2pi/2) - (0+0) } #
# = (81pi)/4 #

NOTA - Você também pode observar que a integral acima #int_0^3 sqrt(9-y^2) dy# representa a área de um quarto de círculo de raio #3#, que, portanto, tem área, #A=1/4pi(3^2) = (9pi)/4# o que novamente dá #I_2=9A = (81pi)/4#.

A combinação de nossos resultados fornece o volume total como:

# v= (81pi)/4 - 9#
# = (81pi)/4 - 9#
# = 54.617251 ... #