Como você encontra o volume do sólido no primeiro octante, que é delimitado pelos planos de coordenadas, o cilindro $x^{2} + y^{2} = 9$ $x ^ 2 + y ^ 2 = 9$ e o plano x + z = 9?

Responda:

O volume é $\frac{81 π}{4} - 9 = 54.6173$ $(81pi)/4 - 9 = 54.6173$ (4dp) $u n i t^{3}$ $unit^3$

Explicação:

Os gráficos do avião $x + z = 9$ $x+z=9$ e a superfície $x^{2} + y^{2} = 9$ $x^2+y^2=9$ são como segue:
insira a fonte da imagem aqui
Podemos usar uma integral tripla para representar o volume da seguinte forma:

$v = \int \int \int_{R} d V$ $v= int int int_R dV$

onde

$R = {(x, y, z) ∣ x, y, z > 0; x^{2} + y^{2} \leq 9; z < 9 - x}$ $R={ (x,y,z) | x,y,z>0; x^2+y^2<=9; z<9-x }$

E assim podemos configurar uma integral dupla da seguinte maneira:

$v = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f (z) d x d y$ $v= int_a^b int_c^d f(z) dx dy$
$= \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} (9 - x) d x d y$ $= int_a^b int_c^d (9-x) dx dy$

Agora, determinamos os limites da integração examinando uma seção transversal no $x y$ $xy$ plano que é um quarto de círculo de raio 3 centrado no $O$ $O$ , e por isso temos:

$0 \leq x \leq \sqrt{9 - y^{2}}$ $0 le x le sqrt(9-y^2)$ and $0 \leq y \leq 3$ $0 le y le 3$

Portanto, nossa integral para o volume é:

$v = \int_{0}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9 - y^{2}}} (9 - x) d x d y$ $v= int_0^3 int_0^(sqrt(9-y^2)) (9-x) dx dy$

Com a integral aninhada, avaliamos de dentro para fora, então vamos lidar com a integral interna;

$\int_{0}^{\sqrt{9 - y^{2}}} (9 - x) d x = {[9 x - \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{2}$ $int_0^(sqrt(9-y^2)) (9-x) dx = [9x-1/2x^2]_0^(sqrt(9-y^2))$
$= 9 (\sqrt{9 - y^{2}}) - \frac{1}{2} {(\sqrt{9 - y^{2}})}^{2}$ $" " = 9(sqrt(9-y^2))-1/2(sqrt(9-y^2))^2$
$= 9 \sqrt{9 - y^{2}} - \frac{1}{2} (9 - y^{2})$ $" " = 9sqrt(9-y^2)-1/2(9-y^2)$

E assim nossa integral dupla agora se torna:

$v = \int_{0}^{3} {9 \sqrt{9 - y^{2}} - \frac{1}{2} (9 - y^{2})} d y$ $v= int_0^3 {9sqrt(9-y^2)-1/2(9-y^2) } dy$

E para essa integral, podemos dividir em duas partes

$I_{1} = \int_{0}^{3} 9 \sqrt{9 - y^{2}} d y$ $I_1 = int_0^3 9sqrt(9-y^2) dy$ and $I_{2} = \int_{0}^{3} - \frac{1}{2} (9 - y^{2}) d y$ $I_2 = int_0^3 -1/2(9-y^2) dy$

Podemos apenas avaliar a segunda integral para obter:

$I_{2} = - \frac{1}{2} {[9 y - \frac{1}{3} y^{3}]}_{0}^{3}$ $I_2 = -1/2[ 9y-1/3y^3 ]_0^3$
$= (- \frac{1}{2}) {(9) (3) - \frac{1}{3} (27) - 0}$ $= (-1/2){(9)(3)-1/3(27) - 0}$
$= - 9$ $= -9$

E para a primeira integral usamos a substituição $y = 3 sin u$ $y=3sinu$ , que fornece o resultado:

$I_{1} = 9 \int_{0}^{3} \sqrt{9 - y^{2}} d y$ $I_1 = 9 int_0^3 sqrt(9-y^2) dy$
$= 9 {[y \frac{\sqrt{9 - y^{2}}}{2} + \frac{9}{2} arcsin (\frac{y}{3})]}_{0}^{3}$ $= 9 [ysqrt(9-y^2)/2 + 9/2 arcsin(y/3) ]_0^3$
$= 9 {(0 + \frac{9}{2} \frac{π}{2}) - (0 + 0)}$ $= 9 {(0+9/2pi/2) - (0+0) }$
$= \frac{81 π}{4}$ $= (81pi)/4$

NOTA - Você também pode observar que a integral acima $\int_{0}^{3} \sqrt{9 - y^{2}} d y$ $int_0^3 sqrt(9-y^2) dy$ representa a área de um quarto de círculo de raio $3$ $3$ , que, portanto, tem área, $A = \frac{1}{4} π (3^{2}) = \frac{9 π}{4}$ $A=1/4pi(3^2) = (9pi)/4$ o que novamente dá $I_{2} = 9 A = \frac{81 π}{4}$ $I_2=9A = (81pi)/4$ .

A combinação de nossos resultados fornece o volume total como:

$v = \frac{81 π}{4} - 9$ $v= (81pi)/4 - 9$
$= \frac{81 π}{4} - 9$ $= (81pi)/4 - 9$
$= 54.617251 ...$

Como você encontra o volume do sólido no primeiro octante, que é delimitado pelos planos de coordenadas, o cilindro x ^ 2 + y ^ 2 = 9 x2+y2=9 x ^ 2 + y ^ 2 = 9 e o plano x + z = 9?

Responda:

Explicação:

Como você encontra o volume do sólido no primeiro octante, que é delimitado pelos planos de coordenadas, o cilindro $x^{2} + y^{2} = 9$ $x ^ 2 + y ^ 2 = 9$ e o plano x + z = 9?