Como você encontra o volume do sólido obtido girando a região delimitada pelas curvas em torno do eixo especificado y = x ^ 2, y = 1, sobre y = 2?

Primeiro, encontramos o volume da área A + B e subtraímos o volume da área B para obter o volume da área A:

Volume A + B:

Pode-se ver no diagrama que o raio cd do volume A + B é #2-x^2# então a integral será:

#V=pi*int_(-1)^(1)(2-x^2)^2 dx#

#(2-x^2)^2=4-4x^2+x^4#

#V=pi*int_(-1)^(1)(4-4x^2+x^4) dx=[4x-4/3x^3+1/5x^5]_(-1)^(1)#

#[4x-4/3x^3+1/5x^5]^(1)-[4x-4/3x^3+1/5x^5]_(-1)#

Conectando os limites superior e inferior:

#V=pi*[4(1)-4/3(1)^3+1/5(1)^5]^(1)-[4(-1)-4/3(-1)^3+1/5(-1)^5]_(-1)#

#V=pi*[4-4/3+1/5]^(1)-[-4+4/3-1/5]_(-1)#

#V=pi*[43/15]^(1)-[-43/15]_(-1)=86/15pi#

Volume de B:

Isso produz um cilindro de raio ab= 1 e comprimento (este é o comprimento do intervalo #[ -1 , 1 ]# que é 2:

#V=pi(1)^2(2)=2pi#

Volume de A = volume (A + B) - volumeB =#(86pi)/15-2pi=color(blue)((56pi)/15)# unidades em cubos.

Volume de A: