Como você encontra um limite unilateral para uma função de valor absoluto?

Ao lidar com limites unilaterais que envolvem o valor absoluto de algo, a chave é lembrar que a função de valor absoluto é realmente uma função disfarçada em partes. Por exemplo, #|x|# pode ser dividido em:

#|x|=#
#x#, when #x≥0#
-#x#, when #x<0#

Você pode ver que, independentemente do valor de x escolhido, ele sempre retornará um número não negativo, que é o principal uso da função de valor absoluto. Isso significa que, para avaliar um limite unilateral, precisamos descobrir qual versão dessa função é apropriada para a nossa pergunta.

Se o limite que estamos tentando encontrar se aproximar do lado negativo, devemos encontrar a versão da função de valor absoluto que contém valores negativos em torno desse ponto, por exemplo:

#lim_(x->-2^-) |2x+4|#

Se dividíssemos essa função em sua forma por partes, teríamos:

#|2x+4| = #
#2x+4#, when #x>=-2#
#-(2x+4)#, when #x<-2#

#-2# é usado para verificar o valor de #x# porque esse é o valor em que a função muda de positivo para negativo. Qualquer número acima #-2# retornará um número positivo e qualquer número abaixo seria negativo e, portanto, precisará trocar seu sinal para sempre retornar um número não negativo.

Se agora substituirmos a função de valor absoluto em nosso problema de limite pela versão correta, teremos:

#lim_(x->-2^-) -(2x+4) = lim_(x->-2^-) -2x-4#

Substituindo #x=-2#, temos:

#lim_(x->-2^-) -2x-4##=-2(-2)-4 #

#= 4-4 = 0#

Observe que se um número além de #-2# foi usado para o limite, como:

#lim_(x->3^+) |2x+4|#

Ainda verificamos a função peça a peça para ver se #3 > -2#, mas não precisa se preocupar com o limite ser unilateral. Isso ocorre porque o aspecto unilateral de um limite para funções peça a peça só se torna importante em torno dos valores nos quais ele alterna sinais ou funções (#x=-2# no nosso caso).