Como você encontra um limite unilateral para uma função de valor absoluto?

Ao lidar com limites unilaterais que envolvem o valor absoluto de algo, a chave é lembrar que a função de valor absoluto é realmente uma função disfarçada em partes. Por exemplo, $| x |$ $|x|$ pode ser dividido em:

$| x | =$ $|x|=$
$x$ $x$ , when $x \geq 0$ $x≥0$
- $x$ $x$ , when $x < 0$ $x<0$

Você pode ver que, independentemente do valor de x escolhido, ele sempre retornará um número não negativo, que é o principal uso da função de valor absoluto. Isso significa que, para avaliar um limite unilateral, precisamos descobrir qual versão dessa função é apropriada para a nossa pergunta.

Se o limite que estamos tentando encontrar se aproximar do lado negativo, devemos encontrar a versão da função de valor absoluto que contém valores negativos em torno desse ponto, por exemplo:

$lim_(x->-2^-) |2x+4|$

Se dividíssemos essa função em sua forma por partes, teríamos:

$|2x+4| =$
$2x+4$ , when $x>=-2$
$-(2x+4)$ , when $x<-2$

$-2$ é usado para verificar o valor de $x$ porque esse é o valor em que a função muda de positivo para negativo. Qualquer número acima $-2$ retornará um número positivo e qualquer número abaixo seria negativo e, portanto, precisará trocar seu sinal para sempre retornar um número não negativo.

Se agora substituirmos a função de valor absoluto em nosso problema de limite pela versão correta, teremos:

$lim_(x->-2^-) -(2x+4) = lim_(x->-2^-) -2x-4$

Substituindo $x=-2$ , temos:

$lim_(x->-2^-) -2x-4$ $=-2(-2)-4$

$= 4-4 = 0$

Observe que se um número além de $-2$ foi usado para o limite, como:

$lim_(x->3^+) |2x+4|$

Ainda verificamos a função peça a peça para ver se $3 > -2$ , mas não precisa se preocupar com o limite ser unilateral. Isso ocorre porque o aspecto unilateral de um limite para funções peça a peça só se torna importante em torno dos valores nos quais ele alterna sinais ou funções ( $x=-2$ no nosso caso).