Como você integra: #cos (lnx) dx #?

Olhando #int cos(lnx) dx#, percebemos que se não podemos integrar imediatamente. O próximo pensamento é: talvez possamos usar a substituição.

Nós precisaríamos #cos(lnx) 1/x# integrar por substituição.

Sem ideias, vamos tentar colocar o "ausente" #1/x# e um #x# para compensar e tentar integrar por partes. (Sim, sério. Tente algo primeiro e veja se funciona.)

#int cos(lnx) dx = int xcos(lnx) * 1/x dx #

Deixei #u = x# #" "# e #" "# #dv = cos(lnx) 1/x dx#

Assim, #du = dx# #" "# e #" "# #v = sin(lnx)#

#int cos(lnx) dx = xsin(lnx) - underbrace(int sin(lnx) dx)_("again insert "x*1/x)# #" "#( nota abaixo)

#int cos(lnx) dx = xsin(lnx) - int xsin(lnx) 1/x dx#

# = xsin(lnx) - [-xcos(lnx) -int -cos(lnx) dx]#

Então agora temos:

#int cos(lnx) dx = xsin(lnx) + xcos(lnx) - int cos(lnx) dx#

#I = xsin(lnx) + xcos(lnx) - I#
nos leva:

#I = 1/2 [xsin(lnx) + xcos(lnx)]#

#int cos(lnx) dx = 1/2 [xsin(lnx) + xcos(lnx)] +C#

Como sempre, verifique diferenciando.

nota está claro que temos uma integral diferente neste momento, mas não está claro que fizemos progressos até tentarmos mais um ou dois passos. Se não tivesse funcionado, precisaríamos voltar ao início e tentar outra coisa.