Como você prova que cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny?
cos(a−b)=cos(a)⋅cos(b)+sin(a)⋅sin(b)
pode ser demonstrado mostrando primeiro que
cos(a+b)=cos(a)⋅cos(b)−sin(a)⋅sin(b)
e depois fazendo a conversão usando o princípio CAST conforme indicado.
- Tenho certeza de que existem outras maneiras de fazer isso; mas é isso que eu criei. (é bem longo).
- Minhas desculpas por usar a e b em vez de x e y; Desenhei os diagramas abaixo antes de verificar quais variáveis foram usadas na solicitação.
Parte 1: Show cos(a+b)=cos(a)⋅cos(b)−sin(a)⋅sin(b)
Um triângulo XQP foi construído ao longo da hipotenusa do triângulo XYQ com ângulo a acima do ângulo b como no diagrama.
O segmento de linha XP é identificado como o comprimento da unidade para todas as medições neste sistema.
Um retângulo é construído com a base XY estendendo a linha de Y a Q até chegar a um ponto Z onde PZ é paralelo ao fundo (XY) (a conclusão do retângulo estabelece o ponto W)
Dentro do triângulo XQP é claro que (desde |XP|=1)
|XQ|=cos(a)
e
|PQ|=sin(a)
Portanto, no triângulo XYQ
|XY|=cos(b)⋅cos(a) (cos(b) ampliado pelo cos(a))
Da mesma forma no triângulo QZP
|PZ|=sin(a)⋅sin(b)
Como WZ é paralelo a XY (por construção)
ângulo XPW = ângulo PXY = a+b
e
|WP|=cos(a+b)
Do diagrama
cos(a+b)+sin(a)⋅sin(b)=cos(a)⋅cos(b)
or
cos(a+b)=cos(a)⋅cos(b)−sin(a)⋅sin(b)
Parte 2 : Mostre que se cos(a+b)=cos(a)⋅cos(b)−sin(a)⋅sin(b)
então cos(a−b)=cos(a)⋅cos(b)+sin(a)⋅sin(b)
cos(a−b)=cos(a+(−b))
para que possamos substituir para obter
cos(a−b)=cos(a)⋅cos(−b)−sin(a)⋅sin(−b)
Pelo diagrama do quadrante CAST para trig. sinais (abaixo), podemos ver que
cos(−b)=cos(b)
e
sin(−b)=−sin(b)
Portanto, podemos escrever:
cos(a−b)=(cos(a)⋅cos(b))−(sin(a)⋅(−sin(b)))
or
cos(a−b)=cos(a)⋅cos(b)+sin(a)⋅sin(b)