Como você prova que o pecado (90 ° -a) = cos (a)?

Se você está procurando uma prova rigorosa, me desculpe - não sou bom nisso. Tenho certeza de que outro colaborador socrático como George C. poderia fazer algo um pouco mais sólido do que eu; Eu só vou explicar o porquê dessa identidade funcionar.

Dê uma olhada no diagrama abaixo:

É um triângulo retângulo genérico, com um #90^o# ângulo indicado pela caixinha e um ângulo agudo #a#. Sabemos que os ângulos em um triângulo retângulo, e um triângulo em geral, devem adicionar a #180^o#, então se tivermos um ângulo de #90# e um ângulo de #a#, nosso outro ângulo deve ser #90-a#:
#(a)+(90-a)+(90)=180#
#180=180#

Podemos ver que os ângulos do nosso triângulo realmente aumentam #180#, então estamos no caminho certo.

Agora, vamos adicionar algumas variáveis ​​para o comprimento lateral em nosso triângulo.

A variável #s# representa a hipotenusa, #l# significa comprimento e #h# significa altura.

Agora podemos começar com a parte suculenta: a prova.

Observe que #sina#, definido como oposto (#h#) dividido por hipotenusa (#s#) , é igual a #h/s# no diagrama:
#sina=h/s#

Observe também que o cosseno do ângulo superior, #90-a#, igual ao lado adjacente (#h#) dividido pela hipotenusa (#s#):
#cos(90-a)=h/s#

Então se #sina=h/s#e #cos(90-a)=h/s#...

Então #sina# deve ser igual #cos(90-a)#!
#sina=cos(90-a)#

E boom, prova completa.