Como você prova que o pecado (90 ° -a) = cos (a)?

Responda:

Eu prefiro uma prova geométrica. Ver abaixo.

Explicação:

Se você está procurando uma prova rigorosa, me desculpe - não sou bom nisso. Tenho certeza de que outro colaborador socrático como George C. poderia fazer algo um pouco mais sólido do que eu; Eu só vou explicar o porquê dessa identidade funcionar.

Dê uma olhada no diagrama abaixo:
insira a fonte da imagem aqui
É um triângulo retângulo genérico, com um $90^{o}$ $90^o$ ângulo indicado pela caixinha e um ângulo agudo $a$ $a$ . Sabemos que os ângulos em um triângulo retângulo, e um triângulo em geral, devem adicionar a $180^{o}$ $180^o$ , então se tivermos um ângulo de $90$ $90$ e um ângulo de $a$ $a$ , nosso outro ângulo deve ser $90 - a$ $90-a$ :
$(a) + (90 - a) + (90) = 180$ $(a)+(90-a)+(90)=180$
$180 = 180$ $180=180$

Podemos ver que os ângulos do nosso triângulo realmente aumentam $180$ $180$ , então estamos no caminho certo.

Agora, vamos adicionar algumas variáveis para o comprimento lateral em nosso triângulo.
insira a fonte da imagem aqui
A variável $s$ $s$ representa a hipotenusa, $l$ $l$ significa comprimento e $h$ $h$ significa altura.

Agora podemos começar com a parte suculenta: a prova.

Observe que $sin a$ $sina$ , definido como oposto ( $h$ $h$ ) dividido por hipotenusa ( $s$ $s$ ) , é igual a $\frac{h}{s}$ $h/s$ no diagrama:
$sin a = \frac{h}{s}$ $sina=h/s$

Observe também que o cosseno do ângulo superior, $90 - a$ $90-a$ , igual ao lado adjacente ( $h$ $h$ ) dividido pela hipotenusa ( $s$ $s$ ):
$cos (90 - a) = \frac{h}{s}$ $cos(90-a)=h/s$

Então se $sin a = \frac{h}{s}$ $sina=h/s$ e $cos (90 - a) = \frac{h}{s}$ $cos(90-a)=h/s$ ...

Então $sin a$ $sina$ deve ser igual $cos (90 - a)$ $cos(90-a)$ !
$sin a = cos (90 - a)$ $sina=cos(90-a)$

E boom, prova completa.