Como você resolve $cos (theta) - sin (theta) = 1$ ?

Sempre que $cos(theta) = 1$ ,

obtemos $sin(theta) = +-sqrt(1-cos^2theta) = 0$

e $cos(theta)-sin(theta) = 1 - 0 = 1$ .

$cos(theta) = 1$ para $theta = 2npi$ para todos $n in ZZ$ .

Sempre que $sin(theta) = -1$ ,

obtemos $cos(theta) = +-sqrt(1-sin^2theta) = 0$

e $cos(theta)-sin(theta) = 0 - (-1) = 1$ .

$sin(theta) = -1$ para $theta = -pi/2+2npi$ para todos $n in ZZ$ .

Juntando dois casos, temos soluções quando:

$theta = 2npi$ para todos $n in ZZ$

e quando

$theta = -pi/2 + 2npi$ para todos $n in ZZ$

Para garantir que essas são as únicas soluções:

Começando $cos(theta)-sin(theta)=1$ primeiro adicione $sin(theta)$ para os dois lados:

$cos(theta)=sin(theta)+1$

Em seguida, quadrado ambos os lados:

$cos^2(theta)=sin^2(theta)+2sin(theta)+1$

Em seguida, use $cos^2(theta)=1-sin^2(theta)$ para obter:

$1-sin^2(theta)=sin^2(theta)+2sin(theta)+1$

Adicionar $sin^2(theta)-1$ para ambos os lados para obter:

$0=2sin^2(theta)+2sin(theta)=2sin(theta)(sin(theta)+1)$

Então também $sin(theta) = 0$ or $sin(theta) = -1$

Já contabilizamos $sin(theta) = -1$ em nossas soluções.

Sobre o quê $sin(theta) = 0$ ?

Se é assim, então

$cos^2(theta) = 1 - sin^2(theta) = 1 - 0 = 1$

So $cos(theta) = +-sqrt(1) = +-1$

Apenas o caso $cos(theta) = 1$ satisfaz $cos(theta)-sin(theta) = 1$ e já explicamos esse caso também.

Então, encontramos todas as soluções.

Como você resolve cos (theta) - sin (theta) = 1 cos (theta) - sin (theta) = 1 ?