Como você resolve # cos (theta) - sin (theta) = 1 #?

Sempre que #cos(theta) = 1#,

obtemos #sin(theta) = +-sqrt(1-cos^2theta) = 0#

e #cos(theta)-sin(theta) = 1 - 0 = 1#.

#cos(theta) = 1# para #theta = 2npi# para todos #n in ZZ#.

---

Sempre que #sin(theta) = -1#,

obtemos #cos(theta) = +-sqrt(1-sin^2theta) = 0#

e #cos(theta)-sin(theta) = 0 - (-1) = 1#.

#sin(theta) = -1# para #theta = -pi/2+2npi# para todos #n in ZZ#.

---

Juntando dois casos, temos soluções quando:

#theta = 2npi# para todos #n in ZZ#

e quando

#theta = -pi/2 + 2npi# para todos #n in ZZ#

---

Para garantir que essas são as únicas soluções:

Começando #cos(theta)-sin(theta)=1#primeiro adicione #sin(theta)# para os dois lados:

#cos(theta)=sin(theta)+1#

Em seguida, quadrado ambos os lados:

#cos^2(theta)=sin^2(theta)+2sin(theta)+1#

Em seguida, use #cos^2(theta)=1-sin^2(theta)# para obter:

#1-sin^2(theta)=sin^2(theta)+2sin(theta)+1#

Adicionar #sin^2(theta)-1# para ambos os lados para obter:

#0=2sin^2(theta)+2sin(theta)=2sin(theta)(sin(theta)+1)#

Então também #sin(theta) = 0# or #sin(theta) = -1#

Já contabilizamos #sin(theta) = -1# em nossas soluções.

Sobre o quê #sin(theta) = 0#?

Se é assim, então

#cos^2(theta) = 1 - sin^2(theta) = 1 - 0 = 1#

So #cos(theta) = +-sqrt(1) = +-1#

Apenas o caso #cos(theta) = 1# satisfaz #cos(theta)-sin(theta) = 1# e já explicamos esse caso também.

Então, encontramos todas as soluções.