Como você satisfaz os termos 3?

Responda:

$(8 r^{2} + 4 r + 6) (3 r^{2} - 7 r + 1) = 24 r^{4} - 44 r^{3} - 2 r^{2} - 38 r + 6$ $(8r^2+4r+6)(3r^2-7r+1)=24r^4-44r^3-2r^2-38r+6$

Explicação:

FOIL é um mnemônico para ajudar a enumerar todos os produtos individuais de termos ao multiplicar dois binômios. Ele captura o resultado da aplicação da propriedade distributiva da multiplicação por adição três vezes:

$(a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d)$ $(a+b)(c+d) = a(c+d)+b(c+d)$

$(a + b) (c + d) = First    a c + Outside    a d + Inside    b c + Last    b d$ $color(white)((a+b)(c+d)) = overbrace(ac)^"First"+overbrace(ad)^"Outside"+overbrace(bc)^"Inside"+overbrace(bd)^"Last"$

FOIL não é aplicável aos trinômios, mas a distributividade é.

Para que pudéssemos resolver o problema em questão:

$(8 r^{2} + 4 r + 6) (3 r^{2} - 7 r + 1)$ $(8r^2+4r+6)(3r^2-7r+1)$

$= 8 r^{2} (3 r^{2} - 7 r + 1) + 4 r (3 r^{2} - 7 r + 1) + 6 (3 r^{2} - 7 r + 1)$ $=8r^2(3r^2-7r+1)+4r(3r^2-7r+1)+6(3r^2-7r+1)$

$= (24 r^{4} - 56 r^{3} + 8 r^{2}) + (12 r^{3} - 28 r^{2} + 4 r) + (18 r^{2} - 42 r + 6)$ $=(24r^4-56r^3+8r^2)+(12r^3-28r^2+4r)+(18r^2-42r+6)$

$= 24 r^{4} - 56 r^{3} + 12 r^{3} + 8 r^{2} - 28 r^{2} + 18 r^{2} + 4 r - 42 r + 6$ $=24r^4-56r^3+12r^3+8r^2-28r^2+18r^2+4r-42r+6$

$= 24 r^{4} + (- 56 + 12) r^{3} + (8 - 28 + 18) r^{2} + (4 - 42) r + 6$ $=24r^4+(-56+12)r^3+(8-28+18)r^2+(4-42)r+6$

$= 24 r^{4} - 44 r^{3} - 2 r^{2} - 38 r + 6$ $=24r^4-44r^3-2r^2-38r+6$

Como alternativa, podemos escrever os coeficientes do $9$ $9$ produtos individuais de pares de termos em uma tabela e somar as diagonais reversas, para encontrar os coeficientes do produto assim:

$+ 00 | + 08 + 04 + 06 - ------------------ -$ $underline(color(white)(+)color(white)(00) " |" color(white)(+)color(white)(0)8 color(white)(+)color(white)(0)4 color(white)(+)color(white)(0)6)$
$+ 03 | + 24 + 12 + 18$ $color(white)(+)color(white)(0)3 " |" color(white)(+)color(red)(24) color(white)(+)color(orange)(12) color(white)(+)color(green)(18)$
$- 07 | - 56 - 28 - 42$ $color(black)(-)color(white)(0)7 " |" color(orange)(-)color(orange)(56) color(green)(-)color(green)(28) color(blue)(-)color(blue)(42)$
$+ 01 | + 08 + 04 + 06$ $color(white)(+)color(white)(0)1 " |" color(white)(+)color(white)(0)color(green)(8) color(white)(+)color(white)(0)color(blue)(4) color(white)(+)color(white)(0)color(purple)(6)$

Conseqüentemente:

$(8 r^{2} + 4 r + 6) (3 r^{2} - 7 r + 1)$ $(8r^2+4r+6)(3r^2-7r+1)$

$= 24 r^{4} + (- 56 + 12) r^{3} + (8 - 28 + 18) r^{2} + (4 - 42) r + 6$ $=color(red)(24)r^4+(color(orange)(-56+12))r^3+(color(green)(8-28+18))r^2+(color(blue)(4-42))r+color(purple)(6)$

$= 24 r^{4} - 44 r^{3} - 2 r^{2} - 38 r + 6$ $=24r^4-44r^3-2r^2-38r+6$

Como alternativa, poderíamos examinar o produto dado dos trinômios e pensar em cada poder de $r$ $r$ em ordem decrescente, somando todas as maneiras pelas quais um termo no primeiro trinômio multiplicado por um termo no segundo pode dar origem a esse poder. Com a prática, isso deve permitir-nos escrever a resposta diretamente.

$(8 r^{2} + 4 r + 6) (3 r^{2} - 7 r + 1) = 24 r^{4} - 44 r^{3} - 2 r^{2} - 38 r + 6$ $(8r^2+4r+6)(3r^2-7r+1)=24r^4-44r^3-2r^2-38r+6$