Como vocĂȘ simplifica # i ^ 15 #?

Responda:

#i^15 = -i#

Explicação:

Lembre-se que #i^2 = -1#.

Assim,

#i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1#

Lembre-se também da regra de poder

#a^m * a^n = a^(m+n)#

Assim, vocĂȘ tem

#i^15 = i^(4 + 4 + 4 + 3) = i^4 * i^4 * i^4 * i^3 = 1 * 1 * 1 * i^3 = i^3 = i^2 * i = -1 * i = -i#

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AlĂ©m disso, gostaria de oferecer uma solução mais geral para #i^n#, com #n# sendo qualquer nĂșmero inteiro positivo.

Tente reconhecer o padrĂŁo:

#i = i#
#i^2 = -1#
#i^3 = i^2 * i = -1 * i = -i#
#i^4 = i^3 * i = -i * i = -i^2 = 1#
#i^5 = i^4 * i = 1 * i = i#
#i^6 = i^4 * i^2 = -1#
...

EntĂŁo, basicamente, o poder de #i# Ă© sempre #i#,# -1#, #-i#, #1#e repita.

Assim, para calcular #i^n#, existem quatro possibilidades:

  • if #n# can be divided by #4#, then #i^n = 1#
  • if #n# can be divided by #2# (but not by #4#), then #i^n = -1#
  • if #n# is an odd number but #n-1# can be divided by #4#, then #i^n = i#
  • if #n# is an odd number but #n+1# can be divided by #4#, then #i^n = -i#

Descrito de maneira mais formal,

#i^n = {(1, " " n= 4k),(i, " " n = 4k + 1),(-1, " " n = 4k + 2),(-i, " " n= 4k + 3) :}#

for #k in NN_0#.