Como você simplifica # i ^ 38 #?
Responda:
#i^38 = -1#
Explicação:
Vamos ver o que acontece se calcularmos qualquer poder de #i#:
#i = i#
#i^2 = -1#
#i^3 = i^2 * i = -1 * i = -i#
#i^4 = i^2 * i^2 = -1 * (-1) = 1##i^5 = i^4 * i = 1 * i = i#
... e assim por diante, a sequência #i#, #-1#, #-i# e #1# se repete.
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Como você pode determinar para qual serve #i^38#?
Vamos começar com fatoração #38 = 4*9 + 2#:
#i^38 = i^(4*9+2) = i^(4*9) * i^2 = (i^4)^9 * i^2 = 1^9 * (-1) = -1#
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Permitam-me também mostrar uma maneira geral de determinar #i^n# para qualquer número inteiro positivo #n#.
Existem quatro possibilidades:
- if #n# can be divided by #4#, then #i^n = 1#
- if #n# can be divided by #2# (but not by #4#), then #i^n = -1#
- if #n# is an odd number but #n-1# can be divided by #4#, then #i^n = i#
- if #n# is an odd number but #n+1# can be divided by #4#, then #i^n = -i#
Descrito de maneira mais formal,
#i^n = {(1, " " n= 4k),(i, " " n = 4k + 1),(-1, " " n = 4k + 2),(-i, " " n= 4k + 3) :}#
for #k in NN_0#.