Como você simplifica # ((2n)!) / (N!) #?

Embora não haja um simplificação of #((2n)!)/(n!)#, existem outras maneiras de expressá-lo. Por exemplo

#((2n)!)/(n!) = prod_(k=0)^(n-1)(2n-k) = (2n)(2n-1)...(n+1)#

Isso segue diretamente da definição da função fatorial e do cancelamento de fatores comuns do numerador e denominador.

#((2n)!)/(n!) = 2^nprod_(k=0)^(n-1)(2k+1) = 2^n(1*3*5*...*(2n-1))#

Uma prova curta da identidade:
#((2n)!)/(n!) = 1/(n!)(1*2*3*...*2n)#

#=1/(n!)*(2*4*6*...*2n) (1*3*5*...*(2n-1))#

#=1/(n!)(1*2)(2*2)(3*2)...(n*2)(1*3*5*...*(2n-1))#

#=1/(n!)(1*2*3*...*n)2^n(1*3*5*...*(2n-1))#

#=1/(n!)n!*2^n(1*3*5*...*(2n-1))#

#=2^n(1*3*5*...*(2n-1))#

Qual a melhor forma de usar depende da situação, porém a forma fornecida de

#((2n)!)/(n!)#

é o mais conciso.