Como você simplifica $sin (tan ^ -1 (x))$ ?

$sin(arctan(x)) = |x|/sqrt(x^2+1)$

Sabendo que

$sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1$

Dividimos os dois lados por $sin^2(theta)$ então nós temos

$1 + cot^2(theta) = csc^2(theta)$

Ou,

$1 + 1/tan^2(theta) = 1/sin^2(theta)$

Tomando o múltiplo menos comum que temos

$(tan^2(theta) + 1)/tan^2(theta) = 1/sin^2(theta)$

Invertendo os dois lados, temos

$sin^2(theta) = tan^2(theta)/(tan^2(theta) + 1)$

Então dizemos que $theta = arctan(x)$

$sin^2(arctan(x)) = tan^2(arctan(x))/(tan^2(arctan(x)) + 1)$

Sabendo que $tan(arctan(x)) = x$

$sin^2(arctan(x)) = x^2/(x^2 + 1)$

Então pegamos a raiz quadrada de ambos os lados

$sin(arctan(x)) = +-sqrt(x^2/(x^2+1)) = +-|x|/sqrt(x^2+1)$

Verificando o alcance do arco tangente, vemos que durante ele o seno é sempre positivo, então temos

$sin(arctan(x)) = |x|/sqrt(x^2+1)$

Como você simplifica sin (tan ^ -1 (x)) sin (tan ^ -1 (x)) ?