Como você usa a parte I do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada de #h (x) = int (cos (t ^ 4) + t) dt # de -4 a sinx? Alguém pode me orientar sobre isso? Estou tendo muitos problemas para entender como fazer isso.

Se você definir uma função #g# pela fórmula #g(x)=int_{-4}^{x} (cos(t^{4})+t) dt#, Em seguida Teorema Fundamental do Cálculo diz que sua derivada é #g'(x)=cos(x^{4})+x# (livrar-se do sinal integral e do #dt#e substitua o #t# no integrando com #x#...a #-4# no limite inferior da integral é irrelevante (poderia ser qualquer número e a resposta seria a mesma), mas o #x# no limite superior da integral é essencial)

Agora observe que #h(x)=int_{-4}^{sin(x)}(cos(t^{4})+t) dt=g(sin(x))# (#h# é uma composição de #g# com a função seno).

Agora você pode aplicar o Regra da cadeia para dizer aquilo

#h'(x)=g'(sin(x)) * d/dx(sin(x))#

#=(cos(sin^{4}(x))+sin(x))*cos(x)#

Isso é útil?

Talvez ainda haja confusão sobre o que #g# e #h# são. Em outras palavras, eles têm "fórmulas comuns" que não envolvem sinais integrais. A resposta, neste caso, é "não". A integral #int cos(t^4) dt# não pode ser avaliado em termos de "funções elementares" (funções às quais você está "acostumado").

O símbolo integral definido #h(x)=int_{-4}^{sin(x)}(cos(t^{4})+t) dt# certamente desafia uma função porque o integrando é contínuo. Para qualquer #x#, você sempre pode aproximar o valor de #h(x)# por integração numérica (como a regra de Simpson).