Como você usa as fórmulas de ângulo duplo ou meio ângulo para derivar cos (4x) em termos de cos x?

Responda:

$y^' = -16sin(x)cos^3(x) +16sin^3(x)cos(x)$

Explicação:

Sabendo que
$cos(2u) = cos^2(u) - sin^2(u) = 1 - 2sin^2(u)$
$sin(2u) = 2sin(u)cos(u)$

Assim,

$cos(4x) = 1 - 2sin^2(2x)$
$1 - 2sin^2(2x) = 1 - 2*(2sin(x)cos(x))^2$

So $cos(4x) = 1 - 4sin^2(x)cos^2(x)$

Sabemos que a constante é irrelevante para derivativos, então podemos dizer que para a função $y = f(x)$ , temos

$y = -4sin^2(x)cos^2(x)$

Assim, você pode diferenciar da maneira que quiser, usando logaritmos (depois de tirar os quatro menos do caminho, lembrando-se de segui-lo mais tarde), temos

$ln(y) = 2ln(sin(x)) + 2ln(cos(x))$
$y^'/y = 2cos(x)/sin(x) + 2(-sin(x))/cos(x)$
$y^' = 4sin(x)cos^3(x) -4sin^3(x)cos(x)$

Lembrando de colocar o -4 de volta

$y^' = -16sin(x)cos^3(x) +16sin^3(x)cos(x)$