Como você usa as identidades trigonométricas fundamentais para determinar a forma simplificada da expressão?

"As identidades trigonométricas fundamentais" são as identidades básicas:

• As identidades recíprocas
• As identidades pitagóricas
• As identidades do quociente

Eles são todos mostrados na imagem a seguir:

Quando se trata de simplificar com essas identidades, devemos usar combinações dessas identidades para reduzir uma expressão muito mais complexa à sua forma mais simples.

Aqui estão alguns exemplos que eu preparei:

a) Simplifique: $\frac{tan x}{csc x} \times sec x$ $tanx/cscx xx secx$

Aplique a identidade do quociente $tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}$ $tantheta = sintheta/costheta$ e as identidades recíprocas $csc θ = \frac{1}{sin θ}$ $csctheta = 1/sintheta$ e $sec θ = \frac{1}{cos θ}$ $sectheta = 1/costheta$ .

$= \frac{\frac{sin x}{cos x}}{\frac{1}{sin x}} \times \frac{1}{cos x}$ $=(sinx/cosx)/(1/sinx) xx 1/cosx$

$= \frac{sin x}{cos x} \times \frac{sin x}{1} \times \frac{1}{cos x}$ $=sinx/cosx xx sinx/1 xx 1/cosx$

$= \frac{{sin}^{2} x}{{cos}^{2} x}$ $=sin^2x/cos^2x$

Reaplicando a identidade do quociente, na forma inversa:

$= {tan}^{2} x$ $=tan^2x$

b) Simplifique: $\frac{csc β - sin β}{csc β}$ $(cscbeta - sin beta)/cscbeta$

Aplique a identidade recíproca $csc β = \frac{1}{sin β}$ $cscbeta = 1/sinbeta$ :

$= \frac{\frac{1}{sin β} - sin β}{\frac{1}{sin β}}$ $=(1/sinbeta - sin beta)/(1/sinbeta)$

Coloque o denominador em um denominador comum:

$= \frac{\frac{1}{sin β} - \frac{{sin}^{2} β}{sin β}}{\frac{1}{sin β}}$ $=(1/sinbeta - sin^2beta/sinbeta)/(1/sinbeta)$

Reorganizar a identidade pitagórica ${cos}^{2} θ + {sin}^{2} θ = 1$ $cos^2theta + sin^2theta = 1$ , resolvendo para ${cos}^{2} θ$ $cos^2theta$ :

${cos}^{2} θ = 1 - {sin}^{2} θ$ $cos^2theta = 1 - sin^2theta$

$= \frac{\frac{{cos}^{2} β}{sin β}}{\frac{1}{sin β}}$ $=(cos^2beta/sinbeta)/(1/sinbeta)$

$= \frac{{cos}^{2} β}{sin β} \times \frac{sin β}{1}$ $=cos^2beta/sinbeta xx sin beta/1$

$= {cos}^{2} β$ $=cos^2beta$

c) Simplifique: $\frac{sin x}{cos x} + \frac{cos x}{1 + sin x}$ $sinx/cosx + cosx/(1 + sinx)$ :

Mais uma vez, coloque um denominador comum:

$= \frac{sin x (1 + sin x)}{cos x (1 + sin x)} + \frac{cos x (cos x)}{cos x (1 + sin x)}$ $=(sinx(1 + sinx))/(cosx(1 + sinx)) + (cosx(cosx))/(cosx(1 + sinx))$

Multiplique:

$= \frac{sin x + {sin}^{2} x + {cos}^{2} x}{cos x (1 + sin x)}$ $=(sinx + sin^2x + cos^2x)/(cosx(1 + sinx))$

Aplicando a identidade pitagórica ${cos}^{2} x + {sin}^{2} x = 1$ $cos^2x + sin^2x = 1$ :

$= \frac{sin x + 1}{cos x (1 + sin x)}$ $=(sinx + 1)/(cosx(1 + sinx))$

Cancelando o $sin x + 1$ $sinx + 1$ pois aparece no numerador e no denominador.

$=cancel(sinx + 1)/(cosx(cancel(sinx + 1))$

$=1/cosx$

Aplicando a identidade recíproca $1/costheta = sectheta$

$=secx$

Finalmente, em uma última observação, eu sei que aqui no Canadá, na Colúmbia Britânica, mais especificamente, essas identidades são dadas em uma folha de fórmulas, mas não sei como é em outros lugares. De qualquer forma, muitos alunos, inclusive eu, memorizam essas identidades porque são importantes para a matemática. Eu recomendo memorização.

Pratica exercícios:

Simplifique as seguintes expressões:

a) $cosalpha + tan alphasinalpha$

b) $cscx/sinx - cotx/tanx$

c) $sin^4theta - cos^4theta$

d) $(tan beta + cot beta)/csc^2beta$

Espero que isso ajude, e boa sorte!