Como você usa as identidades trigonométricas fundamentais para determinar a forma simplificada da expressão?

"As identidades trigonométricas fundamentais" são as identidades básicas:

• As identidades recíprocas
• As identidades pitagóricas
• As identidades do quociente

Eles são todos mostrados na imagem a seguir:

Quando se trata de simplificar com essas identidades, devemos usar combinações dessas identidades para reduzir uma expressão muito mais complexa à sua forma mais simples.

Aqui estão alguns exemplos que eu preparei:

a) Simplifique: # tanx/cscx xx secx#

Aplique a identidade do quociente #tantheta = sintheta/costheta# e as identidades recíprocas #csctheta = 1/sintheta# e #sectheta = 1/costheta#.

#=(sinx/cosx)/(1/sinx) xx 1/cosx#

#=sinx/cosx xx sinx/1 xx 1/cosx#

#=sin^2x/cos^2x#

Reaplicando a identidade do quociente, na forma inversa:

#=tan^2x#

b) Simplifique: #(cscbeta - sin beta)/cscbeta#

Aplique a identidade recíproca #cscbeta = 1/sinbeta#:

#=(1/sinbeta - sin beta)/(1/sinbeta)#

Coloque o denominador em um denominador comum:

#=(1/sinbeta - sin^2beta/sinbeta)/(1/sinbeta)#

Reorganizar a identidade pitagórica #cos^2theta + sin^2theta = 1#, resolvendo para #cos^2theta#:

#cos^2theta = 1 - sin^2theta#

#=(cos^2beta/sinbeta)/(1/sinbeta)#

#=cos^2beta/sinbeta xx sin beta/1#

#=cos^2beta#

c) Simplifique: #sinx/cosx + cosx/(1 + sinx)#:

Mais uma vez, coloque um denominador comum:

#=(sinx(1 + sinx))/(cosx(1 + sinx)) + (cosx(cosx))/(cosx(1 + sinx))#

Multiplique:

#=(sinx + sin^2x + cos^2x)/(cosx(1 + sinx))#

Aplicando a identidade pitagórica #cos^2x + sin^2x = 1#:

#=(sinx + 1)/(cosx(1 + sinx))#

Cancelando o #sinx + 1# pois aparece no numerador e no denominador.

#=cancel(sinx + 1)/(cosx(cancel(sinx + 1))#

#=1/cosx#

Aplicando a identidade recíproca #1/costheta = sectheta#

#=secx#

Finalmente, em uma última observação, eu sei que aqui no Canadá, na Colúmbia Britânica, mais especificamente, essas identidades são dadas em uma folha de fórmulas, mas não sei como é em outros lugares. De qualquer forma, muitos alunos, inclusive eu, memorizam essas identidades porque são importantes para a matemática. Eu recomendo memorização.

Pratica exercícios:

Simplifique as seguintes expressões:

a) #cosalpha + tan alphasinalpha#

b) #cscx/sinx - cotx/tanx#

c) #sin^4theta - cos^4theta#

d) #(tan beta + cot beta)/csc^2beta#

Espero que isso ajude, e boa sorte!