Como você verifica a identidade # (csctheta-cottheta) (csctheta + cottheta) = 1 #?

Nós temos: #(csc(theta) - cot(theta)) (csc(theta) + cot(theta))#

Vamos expandir os parênteses:

#= (csc(theta)) (csc(theta)) + (csc(theta)) (cot(theta)) + ( - cot(theta) (csc(theta)) + (- cot(theta)) (cot(theta))#

#= csc^(2)(theta) + csc(theta) cot (theta) - csc(theta) cot(theta) - cot^(2)(theta)#

#csc^(2)(theta) - cot^(2)(theta)#

Então, vamos aplicar duas identidades trigonométricas padrão; #csc(theta) = (1) / (sin(theta))# e #cot(theta) = (cos(theta)) / (sin(theta))#:

#= ((1) / (sin(theta)))^(2) - ((cos(theta)) / (sin(theta)))^(2)#

#= (1) / (sin^(2)(theta)) - (cos^(2)(theta)) / (sin^(2)(theta))#

#= (1 - cos^(2)(theta)) / (sin^(2)(theta))#

Uma das identidades pitagóricas é #cos^(2)(theta) + sin^(2)(theta) = 1#.

Podemos reorganizar isso para obter:

#=> sin^(2)(theta) = 1 - cos^(2)(theta)#

Vamos aplicar essa identidade reorganizada à nossa prova:

#= (sin^(2)(theta)) / (sin^(2)(theta))#

#=1# (QED)

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