Como você verifica a identidade $sin (\frac{π}{2} + x) = cos x$ $sin (pi / 2 + x) = cosx$ ?

para a prova "verdadeira", você precisa usar a matriz, mas isso é aceitável:

$sin (a + b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b)$ $sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$

$sin (\frac{π}{2} + x) = sin (\frac{π}{2}) \cdot cos (x) + cos (\frac{π}{2}) \cdot sin (x)$ $sin(pi/2+x) = sin(pi/2)*cos(x)+cos(pi/2)*sin(x)$

$sin (\frac{π}{2}) = 1$ $sin(pi/2) = 1$
$cos (\frac{π}{2}) = 0$ $cos(pi/2) = 0$

Então nós temos :

$sin (\frac{π}{2} + x) = cos (x)$ $sin(pi/2+x) = cos(x)$

Como esta resposta é muito útil para os alunos, aqui a demonstração completa para obter

$sin (a + b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b)$ $sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$

(não leia isso se você não é fã de matemática)

números complexos podem ser escritos na forma trigonométrica

$z = (cos (x) + i sin (x))$ $z = (cos(x) + isin(x))$ $\to (1)$ $-> (1)$

multiplicando $z$ $z$ by $i$ $i$ Você tem

$i z = - sin (x) + i cos (x)$ $iz = -sin(x) + icos(x)$

Porque $i^{2} = i \cdot i = - 1$ $i^2 = i*i = -1$

só para você saber, multiplicando números complexos por $i$ $i$ é o mesmo para fazer uma rotação 90 ° no plano complexo

Outra maneira de fazer uma rotação 90 ° é derivar $z$ $z$

$z' = -sin(x) + icos(x)$

temos

$z' = iz$

$(z')/z = i$

integrando ambas as partes

$ln(z) = ix + C$

$z = e^(ix)e^(C)$

tomar $x = 0$ e comparando com $(1)$ você vê que C deve ser $= 0$

so $z = e^(ix)$

$e^(ix) = cos(x)+isin(x)$

multiplicando por outro número complexo

$e^(ix)e^(ix_0) = (cos(x)+isin(x))(cos(x_0)+isin(x_0))$

$e^(ix)e^(ix_0) = e^(i(x+x_0)$

$e^(i(x+x_0)) = cos(x+x_0)+isin(x+x_0)$

$(cos(x+x_0)+isin(x+x_0) = (cos(x)+isin(x))(cos(x_0)+isin(x_0))$

desenvolver

$(cos(x+x_0)+isin(x+x_0) = cos(x)cos(x_0)+icos(x)sin(x_0) + isin(x)cos(x_0) - sin(x)sin(x_0)$

parte real da esquerda deve ser igual à parte real do idem da direita para a parte imaginária

$sin(x+x_0) = cos(x)sin(x_0) + sin(x)cos(x_0)$

Nota :

$sin(x-x_0) = -cos(x)sin(x_0) + sin(x)cos(x_0)$

Porque $sin(-x)= -sin(x)$ e $cos(-x) = cos(x)$

Como você verifica a identidade sin (pi / 2 + x) = cosx sin(π2+x)=cosxsin (pi / 2 + x) = cosx ?