De acordo com a terceira lei de Kepler (p2 = a3), como a massa de um planeta afeta sua órbita ao redor do Sol?

As leis de Kepler afirmam que a órbita de um planeta é uma elipse, que varre uma área igual por unidade de tempo. A terceira lei #p^2=a^3# relaciona o período à distância semi-principal do eixo. De fato, a terceira lei, conforme declarada, só funciona se o período for em anos e o eixo semi-maior estiver em Unidades Astronômicas (AU). Essas leis se aplicam a todos os planetas, independentemente da massa.

Para entender por que esse é o caso, precisamos usar as leis de Newton. A força que um sol exerce em um planeta é #F=(GMm)/a^2#, onde G é a constante gravitacional, M é a massa do sol, m é a massa do planeta e a é a distância entre o sol e o planeta.

Existe uma segunda equação #F=maω^2# que descreve a velocidade angular & omega; um planeta terá como resultado da força. Pentear as equações dá #(GMm)/a^2=maω^2#. Veja que a massa do planeta se anula para dar #(GM)/a^2=aω^2#.

Isso explica por que a massa do planeta não afeta a órbita.

Agora o período #p=(2π)/ω# or #ω=(2π)/p#. Substituir isso na equação anterior dá #(GM)/a^2=(4aπ^2)/p^2#. Multiplique ambos os lados por #p^2a^2# dá #GMp^3=4π^2a^3#.

Usando o Sol e a Terra como base e selecionando a unidade de distância a ser 1AU e a unidade de tempo a ser o ano 1, o termo constante #(GM)/(4π^2)=1#. Isso dá à lei 3rd de Kepler #p^2=a^3#.