Encontre o comprimento exato da curva?

$"Length" = 59/24 approx 2.4583$

A fórmula para o comprimento de arco de uma função $f(x)$ no intervalo $(a,b)$ is $color(blue)(int_a^b (sqrt(1 + (f'(x))^2))dx$ .

Neste caso, $f(x) = y = 1/3 x^3 + 1/(4x) = 1/3 x^3 + 1/4 x^(-1)$ .

Encontre a derivada:
$f'(x) = x^2 - 1/4 x^(-2) =x^2 - frac{1}{4x^2}$

Quadrado $f'(x)$ :
$(f'(x))^2 = (x^2 - frac{1}{4x^2})(x^2 - frac{1}{4x^2})$

$= x^4 - 1/2 + frac{1}{16x^4}$

$"Length" = int_1^2 sqrt[1+(x^4 + 1/(16x^4) - 1/2)]dx$

$= int_1^2 sqrt[x^4 + 1/2 + 1/(16x^4)] dx$

Fator por simetria:

$= int_1^2 sqrt[(x^2 + 1/(4x^2))^2] dx$

$= int_1^2 (x^2 + 1/4 x^(-2) )dx$

$= [1/3 x^3 - 1/4 x^(-1)]_1^2$

$= (frac{2^3}{3} - frac{1/2}{4})-(1/3 - 1/4)$

$= 8/3 - 1/8 - 1/3 + 1/4$

$= 7/3 + 1/8$

$= 56/24 + 3/24$

$= 59/24$

$approx 2.4583$