Encontre o intervalo e o raio de convergência para as séries de potência em #1b?

use o teste de proporção:

[nota: para a série #sum_(n=1)^ooa_n#, Se #lim_(nrarroo)abs(a_(n+1)/a_n)#
-é #<1#, série converge
-é #=1#inconclusivo
-é #>1#, série diverge]

se você aplicar o teste de proporção a isso: #sum_(n=1)^oo(x-5)^n/(n4^n)#, avaliando #lim_(nrarroo)abs(((x-5)^(n+1)/((n+1)(4^(n+1))))/((x-5)^(n)/((n)(4^(n))))# mostrará quais valores x fazem a série convergir ou divergir.

simplificando o limite: #=lim_(nrarroo)abs(((x-5)/((n+1)(4)))/(1/((n)))#
#=lim_(nrarroo)abs((n(x-5))/(4n+4))#

[nota: aqui você pode dividir o numerador e o denominador por #n#, porque para qualquer que seja #n# usado, o valor dentro dos sinais de valor absoluto permanecerá o mesmo (dividindo por #n/n# ou 1)]

#=lim_(nrarroo)abs(((n(x-5))/n)/((4n)/n+4/n))#
#=abs((x-5)/(4+0))#
#=abs((x-5)/4)#

de volta ao teste de razão, a série só pode convergir se #abs((x-5)/4)<1# or #abs((x-5)/4)=1#

Caso 1: #abs(x-5)<4#
#-4<x-5<4#
#1<x<9# (o intervalo da solução deve incluir esses valores)

Caso 2: #abs((x-5)/4)=1#
#x-5=-4, x-5=4#
#x=1,9#

if #x=1#, a série se torna: #sum_(n=1)^oo(1-5)^n/(n4^n)#
#=sum_(n=1)^oo(-4)^n/(n4^n)#
#=sum_(n=1)^oo(-1)^n/(n)#
esta é a alternância série harmônica, que converge pelo teste de série alternada

if #x=9#, a série se torna: #sum_(n=1)^oo(9-5)^n/(n4^n)#
#=sum_(n=1)^oo(4)^n/(n4^n)#
#=sum_(n=1)^oo1/n#
esta é a série harmônica, que diverge. aqui é uma prova

então inclua #x=1# no intervalo também: #1<=x<9#

raio de convergência é metade da diferença entre os valores superiores e inferiores para o intervalo #=(9-1)/2=4#

e aqui é um vídeo com um problema semelhante