Como você encontra uma representação de série de potência para #ln (5-x) # e qual é o raio de convergência?

Podemos começar pela série de poder que você aprendeu durante o semestre:

#1/(1-u) = sum_(n=0)^(N) u^n = 1 + u + u^2 + u^3 + ...#

Agora, vamos trabalhar a partir de #ln(5-x)# para chegar #1/(1-u)#.

#d/(dx)[ln(5-x)] = -1/(5-x) = -1/5*1/(1-x/5)#

Assim, com #u = x/5#, nós apenas pegamos o derivado e depois fatoramos #-1/5#. Para obter a série de potências, temos que trabalhar para trás.

Fizemos isso:

Diferenciamos nossa meta.
Fatorado #-1/5#.
Substituído #x/5# para #u#.

Agora, apenas revertemos o que fizemos, a partir da própria série de poder.

Substituto #u = x/5#.
Multiplique por #-1/5#.
Integre o resultado.

Desde #int "function"= int"power series of that function"#, nós podemos fazer isso:

#1/(1-x/5) = 1 + x/5 + x^2/25 + x^3/125 + ...#

#-1/5*1/(1-x/5) = -1/5 - x/25 - x^2/125 - x^3/625 - ...#

#int -1/5*1/(1-x/5)dx = ln(5-x)#

#= int -1/5 - x/25 - x^2/125 - x^3/625 - ...dx#

#= mathbf(C) - x/5 - x^2/50 - x^3/375 - x^4/2500 - ...#

Observe como ainda temos que descobrir a constante #C# porque realizamos o indeterminado integrante. #C# é o termo para #n = 0#.

Para séries regulares de potência derivadas de #1/(1-x)#, nós escrevemos

#sum_(n=0)^N (x-0)^n = 1/(1-x)#.
where the power series is centered around #a = 0# since it's really the Maclaurin series (meaning, the Taylor series centered around #a = 0#).

Sabemos que a constante não deve conter um #x# termo (porque #x# é uma variável). A constante não pode ser #lnx#então a constante #C# is #color(green)(ln(5))#. Então, nós temos:

#color(blue)(ln(5-x) = ln(5) - x/5 - x^2/50 - x^3/375 - x^4/2500 - ...)#

E finalmente, para o raio de convergência, é #|x| < 5# Porque #ln(5-x)# se aproxima #-oo# as #x->5#. Sabemos que as séries de potência já devem convergir para #ln(5-x)# onde quer que a função exista porque foi construída para a função.