O coeficiente de x ^ (- 5) = ?, na expansão binomial de [((x + 1) / ((x ^ (2 / 3) - - (x ^ (1 / 3)) + 1)) - ( (x-1) / (x- (x ^ (1 / 2))] ^ 10, em que 'x' diferente de 0,1 é:

Desde #a^3+1 = (a+1)(s^2-a+1)#, temos
#x+1 = (x^{1/3}+1)(x^{2/3}-x^{1/3}+1)#, De modo que
#{x+1}/{x^{2/3}-x^{1/3}+1}=x^{1/3}+1#
Novamente
#{x-1}/{x-x^{1/2}}={(x^{1/2}-1)(x^{1/2}+1)}/{x^{1/2}(x^{1/2}-1)}= 1+x^{-1/2}#

Assim, a expressão dada simplifica para

#(x^{1/3}-x^{-1/2})^10#

A única maneira de conseguirmos #x^{-5}# aqui é do termo
#.^10C_10(x^{1/3})^0 (-x^{-1/2})^10# - e o coeficiente deste termo é #(-1)^10 = 1#