O que é um oscilador harmônico quântico?
O oscilador harmônico quântico é essencialmente um problema de dois corpos que consiste em duas esferas sólidas conectadas por uma mola.
Uma versão básica é chamada de oscilador harmônico simples (SHO), no qual a mola não possui fator de amortecimento (sem constante de anarmonicidade):
Como não há fator de amortecimento, o energia os níveis são espaçados igualmente, separados por #ℏomega#ou #hnu# (o oscilador anarmônico teria convergência quadrática dos níveis de energia). Além disso, o menor nível de energia é #1/2ℏomega#, e não #0#.
O Operador Hamiltoniano para o sistema SHO em uma dimensão é:
#color(blue)(hatH_"SHO") = hatK + hatV#
#= -ℏ^2/(2mu)d^2/(dx^2) + 1/2kx^2#
#= [-iℏd/(dx)]^2/(2mu) + 1/2kx^2#
#= color(blue)(hatp^2/(2mu) + 1/2kx^2)#
where #mu = (m_1m_2)/(m_1 + m_2)# is the reduced mass, #hatp# is the momentum operator, #k# is the force constant, and #x# is the relative displacement from equilibrium. #hatK# and #hatV# were the kinetic and potential energy operators.
O normalizado função de onda para o #upsilon#O nível de energia em geral é o produto de um polinômio Hermite e um exponencial em decomposição.
#color(blue)(psi_(upsilon)(x) = N_(upsilon)H_(upsilon)(sqrtalphax)e^(-alphax^2"/"2))#
where:
- #N_(upsilon) = [1/(2^(upsilon) upsilon!)(alpha/(pi))^"1/2"]^"1/2"# is the normalization constant.
- #H_(upsilon)(sqrtalphax) = (-1)^(upsilon)e^(-alphax^2)d^(upsilon)/(d (sqrtalphax)^(upsilon))[e^(-alphax^2)]# is the Hermite polynomial.
- #alpha = sqrt((kmu)/(ℏ^2))# is a variable defined for convenience of expressing the function.
Aplicando o método variacional em alguma função de onda de teste, #psi_0(x) = Ne^(-cx^2)#, Onde #N = ((2c)/pi)^"1/4"# na normalização, daria a você:
#color(blue)(E_0 = 1/2ℏomega)#
que é em geral,
#bb(E_(upsilon) = ℏomega(upsilon + 1/2))#,
como mostrado na primeira imagem.