O que é uma assíntota vertical no cálculo?

A assíntota vertical é um local em que a função é indefinida e o limite da função não existe.

Isso ocorre porque, como $1$ se aproxima da assíntota, mesmo pequenas mudanças no $x$ -valor leva a flutuações arbitrariamente grandes no valor da função.

No gráfico de uma função $f(x)$ , ocorre uma assíntota vertical em um ponto $P=(x_0,y_0)$ se o limitar da função se aproxima $oo$ or $-oo$ as $x->x_0$ .

Para uma definição mais rigorosa, James Stewart's Cálculo, $6^(th)$ edição, nos fornece o seguinte:

"Definição: a linha x = a é chamada de assíntota vertical da curva $y=f(x)$ se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:

$lim_(x->a)f(x) = oo$
$lim_(x->a)f(x) = -oo$
$lim_(x->a^+)f(x) = oo$
$lim_(x->a^+)f(x) = -oo$
$lim_(x->a^-)f(x) = oo$
$lim_(x->a^-)f(x) = -oo$ "

Na definição acima, o sobrescrito + indica o limite à direita de $f(x)$ as $x->a$ , e o sobrescrito indica o limite esquerdo.

Em relação a outros aspectos do cálculo, em geral, não se pode diferenciar uma função em sua assíntota vertical (mesmo que a função possa ser diferenciável em um domínio menor), nem se pode integrar nessa assíntota vertical, porque a função não é contínua lá.

Como exemplo, considere a função $f(x) = 1/x$ .

À medida que nos aproximamos $x=0$ da esquerda ou da direita, $f(x)$ torna-se arbitrariamente negativo ou arbitrariamente positivo, respectivamente.

Nesse caso, duas de nossas afirmações da definição são verdadeiras: especificamente, a terceira e a sexta. Portanto, dizemos que:

$f(x) = 1/x$ has a vertical asymptote at $x=0$ .

Veja a imagem abaixo.

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Fontes:
Stewart, James. Cálculo. $6^(th)$ ed. Belmont: Thomson Higher Education, 2008. Impressão.