O que é uma assíntota vertical no cálculo?

A assíntota vertical é um local em que a função é indefinida e o limite da função não existe.

Isso ocorre porque, como #1# se aproxima da assíntota, mesmo pequenas mudanças no #x#-valor leva a flutuações arbitrariamente grandes no valor da função.

No gráfico de uma função #f(x)#, ocorre uma assíntota vertical em um ponto #P=(x_0,y_0)# se o limitar da função se aproxima #oo# or #-oo# as #x->x_0#.

Para uma definição mais rigorosa, James Stewart's Cálculo, #6^(th)# edição, nos fornece o seguinte:

"Definição: a linha x = a é chamada de assíntota vertical da curva #y=f(x)# se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:

#lim_(x->a)f(x) = oo#
#lim_(x->a)f(x) = -oo#
#lim_(x->a^+)f(x) = oo#
#lim_(x->a^+)f(x) = -oo#
#lim_(x->a^-)f(x) = oo#
#lim_(x->a^-)f(x) = -oo#"

Na definição acima, o sobrescrito + indica o limite à direita de #f(x)# as #x->a#, e o sobrescrito indica o limite esquerdo.

Em relação a outros aspectos do cálculo, em geral, não se pode diferenciar uma função em sua assíntota vertical (mesmo que a função possa ser diferenciável em um domínio menor), nem se pode integrar nessa assíntota vertical, porque a função não é contínua lá.

Como exemplo, considere a função #f(x) = 1/x#.

À medida que nos aproximamos #x=0# da esquerda ou da direita, #f(x)# torna-se arbitrariamente negativo ou arbitrariamente positivo, respectivamente.

Nesse caso, duas de nossas afirmações da definição são verdadeiras: especificamente, a terceira e a sexta. Portanto, dizemos que:

#f(x) = 1/x# has a vertical asymptote at #x=0#.

Veja a imagem abaixo.

Fontes:
Stewart, James. Cálculo. #6^(th)# ed. Belmont: Thomson Higher Education, 2008. Impressão.