O uso de vetores prova que as medianas de um triângulo são simultâneas?

Vamos considerar um segmento #PQ# (mostrado abaixo na Fig.1), dividido por um ponto #R# na proporção de #l:m#. Então vector representando #R# É dado por #(mvecp+lvecq)/(l+m)#

É evidente que o ponto médio é representado por #(vecp+vecq)/2#.

Agora vamos considerar o #DeltaABC#, Onde #A,B# e #C# são reprovados por #vecA,vecB# e #vecC# respectivamente. #D,E# e #F# são os pontos médios de #BC,AC# e #AB# respectivamente. Deixe os vetores que representam #D,E# e #F# be #vecd.vece# e #vecf#. #AD,BE# e #CF# são unidos para cruzar em #G# representado por #vecg#.

Parece que #vecd=(vecb+vecc)/2#, #vece=(veca+vecc)/2# e #vecf=(veca+vecb)/2#.

Vamos também encontrar o #vecg#. Como #G# divide #AD# na proporção de #2:1#, temos

#vecg=(2vecd+veca)/(2+1)=(2vecd+veca)/(2+1)=(2((vecb+vecc)/2)+veca)/3=(veca+vecb+vecc)/3#

Observe que é simétrica a mediana escolhida e se tivéssemos dividido #BE# or #CF# em theratio de #2:1#, o resultado teria sido o mesmo. E #G# é o centróide de #DeltaABC#.

Portanto, as medianas de um triângulo são simultâneas.