O uso de vetores prova que as medianas de um triângulo são simultâneas?

Responda:

Por favor veja abaixo.

Explicação:

Vamos considerar um segmento $PQ$ (mostrado abaixo na Fig.1), dividido por um ponto $R$ na proporção de $l:m$ . Então vector representando $R$ É dado por $(mvecp+lvecq)/(l+m)$

É evidente que o ponto médio é representado por $(vecp+vecq)/2$ .

insira a fonte da imagem aqui

Agora vamos considerar o $DeltaABC$ , Onde $A,B$ e $C$ são reprovados por $vecA,vecB$ e $vecC$ respectivamente. $D,E$ e $F$ são os pontos médios de $BC,AC$ e $AB$ respectivamente. Deixe os vetores que representam $D,E$ e $F$ be $vecd.vece$ e $vecf$ . $AD,BE$ e $CF$ são unidos para cruzar em $G$ representado por $vecg$ .

Parece que $vecd=(vecb+vecc)/2$ , $vece=(veca+vecc)/2$ e $vecf=(veca+vecb)/2$ .

Vamos também encontrar o $vecg$ . Como $G$ divide $AD$ na proporção de $2:1$ , temos

$vecg=(2vecd+veca)/(2+1)=(2vecd+veca)/(2+1)=(2((vecb+vecc)/2)+veca)/3=(veca+vecb+vecc)/3$

Observe que é simétrica a mediana escolhida e se tivéssemos dividido $BE$ or $CF$ em theratio de $2:1$ , o resultado teria sido o mesmo. E $G$ é o centróide de $DeltaABC$ .

Portanto, as medianas de um triângulo são simultâneas.