O volume de uma esfera está mudando a uma taxa constante de # pi / 3 cm ^ 3s ^ -1 #. Como as gorduras mudam a área da superfície quando o volume é # (9pi) / 2 #?

Vamos configurar as seguintes variáveis:

# {(r, "Radius of sphere at time t","(cm)"), (A, "Surface area of sphere at time t", "(cm"^2")"), (V, "Volume of sphere at time t", "(cm"^3")"), (t, "time", "(sec)") :} #

Nosso objetivo é encontrar #(dA)/dt# quando #V=(9pi)/2# e #(dV)/dt=pi/3#.

A fórmula padrão para Área e volume de uma esfera são:

# V=4/3pir^3 .... [1] #
#A=4pir^2 .... [2] #

Quando # V=(9pi)/2 => 4/3pir^3 =(9pi)/2 #

# :. r^3 =9/2*3/4 #
# :. r =3/2 #

Diferenciando [1] e [2] wrt #r# Nós temos;

# (dV)/(dr)=4pir^2 # and # (dA)/(dr) = 8pir #

E da regra da cadeia Nós temos:

# (dA)/dt =(dA)/(dr) * (dr)/(dV)* (dV)/(dt) #
# =8pir * 1/(4pir^2) * (dV)/(dt) #
# =2/r * (dV)/(dt) #

Então, quando #V=(9pi)/2#, #(dV)/dt=pi/3# e #r =3/2#, então:

# (dA)/dt =2/(3/2) * pi/3 #
# =(4pi)/9 #