Pergunta #96821

Eficiência de embalagem é tudo sobre quanto espaço está sendo ocupado pelos átomos presentes em um célula unitária.

Para calcular a eficiência da embalagem, você basicamente precisa saber três coisas

• how many atoms you get per unit cell
• the volume of a single atom
• the total volume of the unit cell

A eficiência da embalagem será igual a

#color(blue)(|bar(ul(color(white)(a/a)"pack. eff." = "volume occupied by atoms"/"total volume of the unit cell"color(white)(a/a)|)))#

Então, comece calculando quantos átomos você obtém em um hexagonal de embalagem fechada (HCP) célula unitária.

Uma célula unitária do HCP é uma prisma hexegonal que tem um total de #17# pontos de treliça

• three lattice points in the center of the cell
• two lattice points in the centers of the bases
• twelve lattice points in the corners of the unit cell

Agora, veja como os átomos são empacotados na célula unitária. Observe que você tem

• #1# atom for every lattice point located in the center of the unit cell
• #1/2# of an atom for every lattice point located in the center of the two bases
• #1/6"th"# of an atom for every lattice point located in the corners of the unit cell

O número total de átomos que podem caber em uma célula unitária de HCP será assim

#3 xx "1 atom" + 2 xx 1/2color(white)(a)"atoms" + 12 xx 1/6color(white)(a)"atoms" = "6 atoms"#

Nesse ponto, seria mais fácil trabalhar com um célula unitária primitiva, que é equivalente a #1/3"rd"# de uma célula unitária.

Projetar esta célula primitiva aqui fará com que você

Esta célula unitária primitiva conterá #2# átomos. Se você pegar #a# para ser o comprimento dessa célula unitária primitiva, você pode dizer que possui

#a = 2r implies r = a/2" " " "color(orange)("(*)")#

Aqui #r# representa o raio de um átomo.

Agora, para obter o volume dessa célula primitiva, você deve usar um conhecido relação existente entre o comprimento da célula e altura, geralmente dado como #c#. Lembre-se, eu vou não derivar essa relação aqui!

Mais especificamente, você pode usar o fato de que

#color(purple)(|bar(ul(color(white)(a/a)color(black)(c = sqrt(8/3) * a = (2sqrt(6))/3 * a)color(white)(a/a)|)))#

O volume desta célula unitária primitiva será assim igual ao área do losango que compõe sua base e a altura da célula. Agora a área de um losango pode ser expressa usando o comprimento do seu lado e um ângulo interior.

http://www.mathwords.com/a/area_rhombus.htm

#"area rhombus" = a^2 * sin(A)#

No seu caso, você pode dizer que

#"area rhombus" = a^2 * sin(120^@) = sqrt(3)/2 * a^2#

NOTA Obviamente, isso será equivalente a

#"area rhombus" = a^2 * sin(60^@) = sqrt(3)/2 * a^2#

O volume da célula unitária primitiva será assim

#V_"primitive cell" = overbrace(sqrt(3)/color(red)(cancel(color(black)(2))) * a^2)^(color(green)("area of the rhombus")) xx overbrace((color(red)(cancel(color(black)(2)))sqrt(6))/3 * a)^(color(blue)("height of the cell"))#

#V_"primitive cell" = (sqrt(3) * sqrt(6))/3 * a^3 = sqrt(2) * a^3#

Como uma célula primitiva é equivalente a #1/3"rd"# de uma célula unitária, você pode dizer que o volume total da célula unitária será

#V_"unit cell" = 3 xx sqrt(2) * a^3 = 3sqrt(2) * a^3#

O volume de um único átomo é dado por

#color(purple)(|bar(ul(color(white)(a/a)color(black)(V_"atom" = 4/3 * pi * r^3)color(white)(a/a)|)))#

Use a equação #color(orange)("(*)")# escrever

#V_"atom" = 4/3 * pi * (a/2)^3#

#V_"atom" = 4/3 * pi * a^3/8 = pi/6 * a^3#

Desde que você sabe que recebe #6# átomos em uma célula unitária, você pode dizer que o volume total ocupado será igual a

#V_"occupied" = color(red)(cancel(color(black)(6))) xx pi/color(red)(cancel(color(black)(6))) * a^3 = pi * a^3#

Isso significa que a eficiência da embalagem será

#"pack. eff" = V_"occupied"/V_"unit cell"#

#"pack. eff" = (pi * color(red)(cancel(color(black)(a^3))))/(3sqrt(2) * color(red)(cancel(color(black)(a^3)))) = color(green)(|bar(ul(color(white)(a/a)0.7405color(white)(a/a)|)))#

Você também verá isso expresso como por cento de eficiência de embalagem

#"% pack. eff" = color(green)(|bar(ul(color(white)(a/a)74.05%color(white)(a/a)|)))#