Pergunta #96821

Responda:

Veja como você pode fazer isso.

Explicação:

Eficiência de embalagem é tudo sobre quanto espaço está sendo ocupado pelos átomos presentes em um célula unitária.

Para calcular a eficiência da embalagem, você basicamente precisa saber três coisas

how many atoms you get per unit cell

the volume of a single atom

the total volume of the unit cell

A eficiência da embalagem será igual a

$color(blue)(|bar(ul(color(white)(a/a)"pack. eff." = "volume occupied by atoms"/"total volume of the unit cell"color(white)(a/a)|)))$

Então, comece calculando quantos átomos você obtém em um hexagonal de embalagem fechada (HCP) célula unitária.

Uma célula unitária do HCP é uma prisma hexegonal que tem um total de $17$ pontos de treliça

three lattice points in the center of the cell

two lattice points in the centers of the bases

twelve lattice points in the corners of the unit cell

Agora, veja como os átomos são empacotados na célula unitária. Observe que você tem

$1$ atom for every lattice point located in the center of the unit cell

$1/2$ of an atom for every lattice point located in the center of the two bases

$1/6"th"$ of an atom for every lattice point located in the corners of the unit cell

O número total de átomos que podem caber em uma célula unitária de HCP será assim

$3 xx "1 atom" + 2 xx 1/2color(white)(a)"atoms" + 12 xx 1/6color(white)(a)"atoms" = "6 atoms"$

Nesse ponto, seria mais fácil trabalhar com um célula unitária primitiva, que é equivalente a $1/3"rd"$ de uma célula unitária.

Projetar esta célula primitiva aqui fará com que você

Esta célula unitária primitiva conterá $2$ átomos. Se você pegar $a$ para ser o comprimento dessa célula unitária primitiva, você pode dizer que possui

$a = 2r implies r = a/2" " " "color(orange)("(*)")$

Aqui $r$ representa o raio de um átomo.

Agora, para obter o volume dessa célula primitiva, você deve usar um conhecido relação existente entre o comprimento da célula e altura, geralmente dado como $c$ . Lembre-se, eu vou não derivar essa relação aqui!

Mais especificamente, você pode usar o fato de que

$color(purple)(|bar(ul(color(white)(a/a)color(black)(c = sqrt(8/3) * a = (2sqrt(6))/3 * a)color(white)(a/a)|)))$

O volume desta célula unitária primitiva será assim igual ao área do losango que compõe sua base e a altura da célula. Agora a área de um losango pode ser expressa usando o comprimento do seu lado e um ângulo interior.

http://www.mathwords.com/a/area_rhombus.htm

$"area rhombus" = a^2 * sin(A)$

No seu caso, você pode dizer que

$"area rhombus" = a^2 * sin(120^@) = sqrt(3)/2 * a^2$

NOTA Obviamente, isso será equivalente a

$"area rhombus" = a^2 * sin(60^@) = sqrt(3)/2 * a^2$

O volume da célula unitária primitiva será assim

$V_"primitive cell" = overbrace(sqrt(3)/color(red)(cancel(color(black)(2))) * a^2)^(color(green)("area of the rhombus")) xx overbrace((color(red)(cancel(color(black)(2)))sqrt(6))/3 * a)^(color(blue)("height of the cell"))$

$V_"primitive cell" = (sqrt(3) * sqrt(6))/3 * a^3 = sqrt(2) * a^3$

Como uma célula primitiva é equivalente a $1/3"rd"$ de uma célula unitária, você pode dizer que o volume total da célula unitária será

$V_"unit cell" = 3 xx sqrt(2) * a^3 = 3sqrt(2) * a^3$

O volume de um único átomo é dado por

$color(purple)(|bar(ul(color(white)(a/a)color(black)(V_"atom" = 4/3 * pi * r^3)color(white)(a/a)|)))$

Use a equação $color(orange)("(*)")$ escrever

$V_"atom" = 4/3 * pi * (a/2)^3$

$V_"atom" = 4/3 * pi * a^3/8 = pi/6 * a^3$

Desde que você sabe que recebe $6$ átomos em uma célula unitária, você pode dizer que o volume total ocupado será igual a

$V_"occupied" = color(red)(cancel(color(black)(6))) xx pi/color(red)(cancel(color(black)(6))) * a^3 = pi * a^3$

Isso significa que a eficiência da embalagem será

$"pack. eff" = V_"occupied"/V_"unit cell"$

$"pack. eff" = (pi * color(red)(cancel(color(black)(a^3))))/(3sqrt(2) * color(red)(cancel(color(black)(a^3)))) = color(green)(|bar(ul(color(white)(a/a)0.7405color(white)(a/a)|)))$

Você também verá isso expresso como por cento de eficiência de embalagem

$"% pack. eff" = color(green)(|bar(ul(color(white)(a/a)74.05%color(white)(a/a)|)))$