Como encontrar a série Taylor de uma função logarítmica

Como encontrar a série Taylor de uma função logarítmica?

Existem duas formas óbvias. Você pode ligar as derivadas na forma geral, ou pode usar o fato de que [matemática]\ln(1+x) = \int_0^x\frac{dt}{1+t}[/math]. Por que eu usei [matemática]1+x[/math] (e [matemática]1+t[/math])? Isto é para evitar a singularidade em [matemática]{dt]1+x[/math]. Não existe uma série Taylor para [matemática]\(x)[/math] em poderes de [matemática]x[/math]. Mas você pode encontrar uma série Taylor sobre qualquer valor positivo.

O segundo método é fácil, basta expandir [matemática]\frac1{1+t}[/math] pelo binômio (ou como uma série geométrica) e integrar cada termo.

O primeiro método também não é difícil. A derivada de [matemática]\ln(x)[/math] é [matemática]\frac1x[/math] que é [matemática]1[/math] quando [matemática]x = 1[/math]. A [matemática]n[/math]th derivative é ... bem, você pode fazer isso e colocar [matemática]x = 1[/math]. Então a série Taylor é [matemática]\ln(x) = \ln(1) + a_1 (x-1) + a_2 (x-1)^2 + \i[/math] onde os coeficientes [matemática]a_n[/math] são coeficientes que você mesmo deve calcular.

Se substituir [matemática]x[/math] por [matemática]1+x[/math] obterá o formulário que referi anteriormente.

Como um exercício, encontre agora a série Taylor sobre [matemática]x = c[/math].