O que é a série Taylor para [matemática]tan x[/math]?

Podemos começar com

[matemática]f(x) = \tan(x), \quad f(0) = 0,[/math]

[matemática]f'(x) = 1/\cos^2(x),\quad f'(0) = 1,[/math]

etc.., mas é complicado e aborrecido.

P>Primeiro, note que [matemática]\tan(x)[/math] é uma função estranha, e portanto sua série Taylor em [matemática]0[/math] só tem coeficientes estranhos,

[matemática]f(x) = a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + \cdots[/math]

p>p>p>[matemática]f(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = \frac^2(x)} = \frac^2(x),[/math]

e portanto temos que [matemática]\tan(x)[/math] satisfaz a equação diferencial não-linear

[matemática]f' = 1+f^2.[/math]

Em termos da série Taylor, está escrito

[matemática]a_1 + 3a_3 x^2 + 5a_5x^4 + \cdots = 1++esquerda(a_1 x+a_3 x^3+a_5x^5+\cdots\direita)^2,[/math]

que pode ser resolvido igualando os coeficientes de cada (uniforme) potência de [matemática]x[/math]. Assim temos

[matemática]a_1 = 1\quad ([/math]coeficiente de[matemática] x^0),[/math]

[matemática]3 a_3 = a_1^2 = 1 \Seta direita a_3 = 1/3,\quad ([/math]coeficiente de[matemática] x^2) [/math]

[matemática]5 a_5 = 2a_1a_3 = 2/3\Seta direita a_5 = 2/15,[/math]

[matemática]7 a_7 = a_3^2+ 2 a_1a_5 = 17/45\Seta direita a_7 = 17/315[/math],

e assim por diante...

A ordem da equação diferencial é 1, e portanto deve precisar de uma condição inicial. Esta condição inicial é [matemática]f(0) = 0[/math], que está implícita na série escolhida, onde [matemática]a_0=0[/math].