Porque é que a soma do quadrado da direcção é sempre 1?

Por que a soma dos quadrados de direção coseno sempre [matemática]1?[/math]

O que são direção coseno? Direção cosseno são os cossenos dos ângulos feitos por um segmento de reta dirigida com os eixos coordenados.

Considerar um ponto, [matemática]P,[/math] sobre uma reta em [matemática]3[/math] espaço dimensional. Mova a reta, paralela a si mesma, para que se passe pela origem. Este movimento não altera os ângulos feitos por uma reta com os eixos de coordenadas.

Deixe as coordenadas do ponto [matemática]P[/math] serem [matemática](x,y,z)[/math] e deixe a distância do ponto [matemática]P[/math] da origem, [matemática]O,[/math] ser [matemática]r.[/math]

[math]\qquad r^2=x^2+y^2+z^2.[/math]

Deixe os ângulos que o segmento de linha [matemática]OP[/math] faz com os eixos positivos [matemática]X,Y[/math] e [matemática]Z[/math] serem [matemática]|alfa,\beta[/math] e [matemática]\gamma[/math] respectivamente.

Então, [matemática]|frac{x}{r}=cos=alfa,|frac{y}{r}=cos=beta[/math] e [matemática]|frac{z}{r}{r}{r}cos=gamma.[/math]

[math]\Rightarrow\qquad \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=\frac{x^2}{r^2}+\frac{x^2}{r^2}+\frac{x^2}{r^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{r^2}.[/math]

[matemática]{\an8}{\an8}{\an8}[/math]