Posso fazer um aplicativo web que roda no Android como modo de primeiro plano, por exemplo, trabalhar em segundo plano mesmo quando fecho o navegador?

Escrever em geral, Aplicações Web servem pedidos HTTP.

Então, eles são software do lado do servidor. Se for possível executá-los em um dispositivo Android? Sim, é possível. Você pode ler sobre, por exemplo, I-Jetty uma versão Android do container web Jetty que também é um servidor HTTP.

Outros, como você menciona o termo "browser": no lado do browser há HTTP, HTML, JavaScript...Window, Document e tais objetos do browser... não há controle sobre o processo de aplicação do SO cliente a partir de HTTP e HTML.

Existem Web Workers que rodam em segundo plano no browser. Eles não bloqueiam o código de visualização ou comportamento do seu navegador, eles processam dados em segundo plano até que o navegador esteja aberto.

Or existem SSE - Server Sent Sent Events. Pode iniciar a comunicação a partir do servidor. Então você pode executar o trabalho em segundo plano no servidor e esperar por eventos no browser.

No entanto, quando você fecha o processo do SO do browser, os recursos da rede cliente TCP usados são liberados, o(s) socket(s) cliente(s) são fechados, o servidor está aberto esperando a expiração da sessão... a sessão é perdida no servidor, após reabrir o browser você terá uma nova conexão, nova sessão HTTP no servidor.

Então a conexão cliente e o Web Worker não sobreviverão...