Por que meu IP público é diferente do IP do roteador?

Isso é porque o roteador tem um IP público externo e um IP privado interno que são diferentes. Vou discutir o motivo abaixo.

Com IPv4, o número de endereços IP disponíveis está ficando baixo. Os endereços IP são atribuídos a provedores para uso de seus clientes, mas eles têm que apresentar uma justificativa detalhada provando sua necessidade de serviços reais sendo realizados. O IPv6 está sendo implementado para resolver isso, mas essa implementação está levando anos e um plano interino foi necessário para evitar o uso completo de todos os endereços IP.

Para contornar essa escassez, uma estratégia desenvolvida foi o uso da Tradução de Endereços de Rede (NAT) que permite que um site cliente utilize endereços IP privados ao invés de alocar um endereço IP público para cada PC e outro dispositivo no site. Endereços públicos são um recurso esgotável, mas conjuntos separados de endereços privados são atribuídos para uso apenas em sites únicos, e os mesmos endereços podem ser usados em cada site do cliente.

Para evitar que um problema ocorra com esta sobreposição de endereços privados, o roteador de Internet do site traduz o endereço privado para um único endereço IP público para o site à medida que um pacote é enviado para a Internet. Quando uma resposta é recebida, o roteador traduz o endereço de volta para o endereço IP privado original. O roteador mantém registro de quais respostas devem ser encaminhadas para qual PC usando um processo complicado que eu não descreverei aqui.

O uso de NAT também oferece uma vantagem de segurança, pois o roteador só pode enviar pacotes para um PC se eles forem a resposta esperada a uma solicitação anterior feita pelo PC para outro local na Internet. Hackers não podem facilmente enviar pacotes aleatórios da Internet para o PC.