Como determinar se uma linha é paralela a um avião? Quais são alguns exemplos

Se uma linha é paralela a um plano, ela será perpendicular ao vetor normal do plano (como qualquer outra linha contida dentro do plano, ou paralela ao plano).

(Note que estou usando "perpendicular" aqui, não no sentido de que eles se interceptam, necessariamente, mas no sentido de que seus vetores estariam a 90 graus se fossem colocados um ao lado do outro)

Para descobrir se dois vetores são perpendiculares, basta pegar o produto ponto deles. Se for igual a 0, então eles são perpendiculares.

Então, por exemplo, se tivermos o plano: 2x + 3y - 4z = 7 (vector normal aqui seria <2,3,-4>)

> E queremos descobrir se a linha: x=2+t, y=3-2t, z=5-t, é paralela a ela, só precisamos do produto do ponto do vector da linha (<1, -2, -1>) e do vector normal do plano.

<1, -2, -1> DOT <2, 3, -4> = 1*2 + -2*3 + -1*-4 = 2 - 6 + 4 = 0

Então, neste caso, a linha e o plano são paralelos.

If we want to use the same plane, but compare it to the line: x=4+2t, y=3+6t, z=5+9t, then we will get:

<2, 6, 9> DOT <2, 3, -4> = 2*2 + 6*3 + 9*-4 = 4 + 18 - 36 = -14

So we can see these two will not be parallel.