Porque é que [matemática]e^{iπ/2} = i[/math]?

Como com a maioria das perguntas "porquê" em matemática, isto é uma questão de definições. Exponenciação, quando você ouviu falar dela pela primeira vez, foi provavelmente definida como multiplicação repetida.

[matemática]3^4 = 3\times 3\times 3 \times 3[/math]

Em algum momento, você foi introduzido à idéia de exponenciação negativa. Isto não'não faz realmente sentido de acordo com a definição original, porque você pode'não multiplicar algo por si mesmo um número negativo de vezes. Mas você notou uma propriedade interessante de exponenciação, definida da maneira normal.

[math]3^3 = 3^4 \div 3[/math]
[math]3^2 = 3^3 \div 3[/math]
[math]3^1 = 3^2 \div 3[/math]

se você puder provar que esta propriedade se mantém em todos os casos em que você'Definiu exponenciação (até agora, com números naturais como expoentes) então você pode estender a definição de exponenciação para trabalhar em mais casos.

[matemática]3^0 = 3^1 \div 3 = 1[/math]
[matemática]3^{-1} = 3^0 \div 3 = \frac{1}{3}[/math]
[matemática]3^{-2} = 3^{-1}div 3 = {1}frac{9}[/math]

>p>Agora temos uma definição de exponenciação que funciona para todos os expoentes inteiros. Mas então, em algum momento, você foi introduzido à idéia de expoentes fracionários. De forma semelhante, você tomou uma propriedade de exponenciação como já havia sido definida e a usou para estender a definição.

[matemática]3^2 \ vezes 3^2 = 3^{2+2}[/math]
[matemática]3^{-5} \vezes 3^{12} = 3^{-5+12}[/math]
[math]3^frac{1}{2} \Times 3^frac{1}{2} = 3^frac{1}{2}+frac{1}{2}} \{1}{2} = {3}[/math]

It's não necessariamente que cada nova extensão de exponenciação represente algo como "o que aconteceria se você multiplicasse 3 por si só meio tempo" porque isso não faz sentido't realmente faz sentido - você pode't multiplicar algo meio tempo. Em vez disso, temos uma nova função que age da mesma forma que a antiga em todos os lugares que a antiga funciona, e funciona bem em muitos lugares que a antiga não't funciona. Por conveniência, nós apenas subsumimos a função antiga na nova e chamamos toda a exponenciação.

A observação elegante que nos permite lidar com expoentes imaginários requer mais alguma maquinaria para confirmar, mas você já deve ter visto antes.

[matemática]e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + +frac{x^3}{3!} +frac{x^4}{4!} + \i[/math]

Neste ponto, nós're capazes de ligar algo como [matemática]|frac{1}{2}i[/math] e se você'acabará com [matemática]i[/math]- se você're careful!

Também acontece que a exponenciação tem uma bela interpretação geométrica: rotação no plano complexo. Ao invés de usar a expansão da série Taylor para estender a números imaginários, você pode usar esta propriedade de rotação. Da mesma forma, existem outras propriedades que você poderia ter escolhido anteriormente para estender a exponenciação para números negativos ou frações. Surpreendentemente, todas elas resultam na mesma função estendida!

Em suma, a exponenciação imaginária não't "precisa" de funcionar da forma como funciona, e você pode se sentir livre para defini-la de outra forma. Mas devido às propriedades chave, a nossa definição é a forma como a exponenciação imaginária "deve" funcionar, para ser consistente com o que sabemos sobre exponenciação.