Como encontrar o poder de I

Let's começar reescrevendo [matemática]{i}[/math] como [matemática]1{i}mathrm{i}[/math]. Este let's nós tratamos [matemática]|mathrm{i}[/math] como multiplicação: você começa em [matemática]1[/math], multiplica-se por [matemática]|mathrm{i}[/math], e termina com [matemática]|mathrm{i}[/math]. Se você olhar para onde [matemática]{i}[/math] está no plano de número complexo, você pode ver que multiplicar por [matemática]{i}[/math] uma vez que ele'é o mesmo que girar em torno de zero por um ângulo reto, de uma unidade para a direita de zero para uma unidade acima de zero. Se você repetir isso, você gira outro ângulo reto, de cima de zero para a esquerda de zero. Então [matemática]1\cdot]mathrm{i}{i}cdot]mathrm{i}=-1[/math], ou [matemática]{i}^2=-1[/math]. Repita isso novamente, e você recebe [matemática]{i^3=---matemática, uma unidade abaixo de zero; depois [matemática]^4=1[/math], uma unidade à direita de zero. Mais aumentos começam um novo ciclo em torno de zero, com [matemática]{i}^5==mathrm{i}^1[/math], [matemática]^6==mathrm{i}^2[/math], e assim por diante.

Podemos generalizar esta regra: [math]\mathrm{i}^n=\mathrm{i}^{n-4}[/math]. Isto significa também que [matemática]^4=mathrm{i}^0[/math], [matemática]^3=mathrm{i}^{-1}[/math], Matemática, Matemática, Matemática, Matemática, e por aí fora. Isto é, poderes positivos de [matemática] dão rotações numa direcção; poderes negativos de [matemática] dão rotações na outra direcção; e o poder de zero não causa rotações: onde quer que comeces, ficas lá.

Então isso permite-nos usar qualquer poder inteiro. Poderes não inteiros também podem ser facilmente extrapolados a partir disto: por exemplo, se [matemática]{i}^1[/math] gira você um ângulo reto em torno de zero, então [matemática]{i}^{1/2}[/math] gira você metade de um ângulo reto, ou um ângulo de 45°, movendo você para um ponto que's [matemática]{sqrt2/2[/math] unidades à esquerda de zero e [matemática]^sqrt2/2[/math] unidades para cima a partir de zero.

Isto também nos permite lidar com raízes de [matemática]\mathrm{i}[/math]: [math]z^{1/2}=\sqrt z[/math], so [math]\sqrt{\mathrm{i}}=\mathrm{i}^{1/2}=\tfrac{\sqrt2}2+\tfrac{\sqrt2}2\mathrm{i}[/math]. A raiz cúbica da [matemática]{i}[/math] é [matemática]^{1/3}[/math], um terço de uma reputação de ângulo reto, ou uma rotação de 30°. Se você conhece sua trigonometria, você sabe que quando você roda 30°, você acaba em [matemática] [30°] [/math] à direita e [matemática] em [30°] [/math] acima, o que funciona para [matemática] [matematica] [qrt3] [2+frac12]mathrm [i] [/math].

Overtudo, você pode generalizar isto para [matemática]{i}^x=\cos(x\cdot90°)+\mathrm{i}sin(x\cdot90°)[/math], que funciona desde que [matemática]x[/math] seja um número real.