Em média, quantos números você teria que sacar para alguém ganhar um Bingo onde você precisa preencher o cartão inteiro?

Um esclarecimento importante: Esta é UMA pessoa jogando sozinho, ou um grupo de n pessoas competindo para ser o primeiro a preencher a carta?

Se o primeiro: A média é 72,96. (Este é um exercício de Probabilidade e Inferência Estatística por Hogg e Tanis). Detalhes abaixo.

Se o último: A média será menor conforme n cresce, mas é difícil calcular como varia com n porque depende de quanta sobreposição existe entre cartas separadas. (Em geral, o tempo para a pessoa A preencher seu cartão NÃO é independente de quanto tempo B leva para preencher o cartão)

Para uma pessoa: Que N seja o número de sorteios até que o cartão seja preenchido. Existem 24 números no cartão, e 75 números para escolher, então N será igual a n se (1) cobrimos 23 pontos com os primeiros números [matemática]n-1[/math], e (2) o n-ésimo sorteio cobre o ponto restante do nosso cartão. Ou seja:

[math]\begin{align*}f(n)=P(N=n)&=\dfrac{\binom{24}{23}\binom{51}{n-24}}{\binom{75}{n-1}}\cdot\dfrac{1}{76-n}\\&=\cdots=\dfrac{\binom{n-1}{23}}{\binom{75}{24}}\text{ for }n=24,25,75 pontos,75end{alinhamento**{}{}[/math]

(Saltámos os detalhes da simplificação desta expressão.) Usando a identidade do stick de hóquei, podemos confirmar que esta soma é de 1.

A partir disto podemos calcular o valor esperado como:

[matemática]|begin{align*}}sum_{n=24}^{75}n},f(n)&===sum_{n=24}^{75}dfrac{n=cdot}binom{n-1}{23}}{binom{75}{24}{24}&=dfrac{24}{24}{binom{75}{24}} \sum_{n=24}^{75}\binom{n}{24}\\ &=\dfrac{24}{\binom{75}{24}} \cdot\binom{76}{25}=\frac{24\cdot 76} {25}=72.96\end{alinhamento*}{}[/math]

(novamente fazendo uso da identidade do stick de hóquei para avaliar a soma).

Para vários jogadores: Se houver n jogadores no jogo, com cartas atribuídas aleatoriamente, é mais difícil encontrar um valor exacto para o número médio de sorteios para encontrar um vencedor, mas uma simulação Monte Carlo pode dar alguma ideia de como isto cai à medida que n sobe. In the table and graph below are the results of playing 100000 simulated games with n cards; the first row is there to confirm the result given above (and to confirm that the simulation was reliable).

1. n Mean SD Mean winners tie prob 
2. -- ------ ------ ------------ -------- 
3. 1 72.956 2.3968 1.0000 0.0000 
4. 2 71.759 2.6620 1.1927 0.1927 
5. 3 70.963 2.7435 1.2247 0.1760 
6. 4 70.374 2.7702 1.2327 0.1777 
7. 5 69.881 2.8025 1.2326 0.1779 
8. 6 69.490 2.8107 1.2345 0.1798 
9. 7 69.147 2.8184 1.2375 0.1819 
10. 8 68.865 2.8219 1.2377 0.1815 
11. 9 68.611 2.8133 1.2418 0.1848 
12. 10 68.377 2.8276 1.2403 0.1837 
13. 11 68.190 2.8133 1.2444 0.1856 
14. 12 67.981 2.8025 1.2439 0.1855 
15. 13 67.815 2.8002 1.2483 0.1886 
16. 14 67.651 2.7913 1.2519 0.1910 
17. 15 67.502 2.7883 1.2468 0.1871 
18. 18 67.097 2.7834 1.2503 0.1891 

As we can see from the table and the graph, there is (as we might expect) a “diminishing returns” effect: Mais cartas reduzem a duração média do jogo, mas cada vez mais lentamente.

Em um comentário a esta resposta, o OP disse que ela está perguntando especificamente sobre algo na vizinhança de 75 cartas (25 jogadores com 3 cartas cada), notando que não houve nenhum vencedor após 36 empates. Simular 50000 jogos com um grupo desse tamanho dá uma média de cerca de 64 empates, com um desvio padrão de cerca de 2,7. Entre os 50000 jogos simulados:

<

• O mais curto foi 45 sorteios (1 vez).<
• 50 ou menos sorteios: 19 vezes (0,038%)
• >55 ou menos sorteios: 355 times (0.71%)
• 60 or fewer draws: 5011 times (10.022%)
• 20% ended in ties (i.e., two or more cards were filled)

On average, how many numbers would you have to draw for someone to win a Bingo where you need to fill the entire card?