O que é a convolução do sinal?

Há tanto tempo que espero para responder a esta pergunta :D..........(evil laugh)

Então aqui vai........imagine this.....:

You have a system which when given a single 1 input outputs a strange ass signal(basically you dont care what). Isto pareceria algo parecido com isto:

esta entrada parecerá:

e o sistema sai algo parecido com isto: (chame isto Eve)

Agora a convolução é feita principalmente para cenários onde você assume sistemas lineares ou misturas lineares de sinais (que só depende da situação).

>

A>Uma breve compreensão da linearidade, basicamente é isto:

se a entrada A resulta na saída X. e a entrada B resulta na saída Y, então:

>p>A=>X,

B=>Y,

2A=>2X,

2B=>2Y,

2A + 3B => 2X + 3Y.

é tudo o que existe. (Estou omitindo o axioma da multiplicação zero por simplicidade).

de qualquer forma, agora que você está armado com a compreensão da linearidade, vamos voltar ao nosso sistema de exemplo.

imagine agora que eu dou a este sistema uma entrada como esta: (chame este Adam)

Neste caso há dois picos de 1. em outras palavras, no tempo 0, o sistema recebeu um input de 1 e no tempo 1 o sistema também recebeu um input de 1. Depois disso para todos os efeitos existem zeros no input.

imagine o primeiro pico sendo A (do nosso breve histórico de linearidade :D) e o pico 2 é B.

se o pico A foi fornecido ao nosso sistema independentemente, a saída do sistema é:

e quando o pico B é dado ao nosso sistema independentemente a saída do sistema é:

Por favor note também os atrasos de tempo devido ao atraso nas entradas.

lets adicionem estes dois resultados juntos e vejam que beleza ocorre...........

(BTW somos capazes de fazer isso porque o sistema é linear)

1. após a primeira entrada A ser injetada no sistema, a saída do sistema no intervalo de tempo 1 é 0,5. a entrada B ainda não efetuou a saída (veja os gráficos acima).
2. No intervalo de tempo 2, a saída do primeiro impulso A ainda existe (0,25) e basicamente irá se somar à nova saída do impulso B que é 0,5. a saída resultante no índice de tempo 2 será : 0.25+0.5 = 0.75.
4. Agora no índice de tempo 3 a saída do impulso A desapareceu, mas a saída do impulso B está lá que é 0.25.

a saída total será a seguinte:

Lo e Behold! este é o mesmo resultado que você obtém quando você convolve Adão e Eva :D

Esta é a essência da convolução. Espero que tenha sido satisfatório.

(P.S. convolution is done mainly for Linear Transform (Time) Invariant (LTI) systems. o que basicamente significa que a resposta de impulso do sistema não muda com o tempo. Existem maneiras pelas quais você pode realmente encontrar a saída de um sistema de Variante de Transformada Linear, mas a convolução não funcionaria para isso)