Qual é a raiz quadrada de 7+2√10?

Uma confluência de eventos nos últimos dias me obriga a escrever uma resposta que certamente será vista como excessivamente longa para uma pergunta tão simples. Mas talvez se revele útil para outros em algum momento posterior, pois tais perguntas parecem surgir com frequência no Quora.

Aqui está a minha história. Há dois dias, em uma sessão de reforço, na pequena faculdade onde agora trabalho meio período, um aluno veio até mim com o seguinte problema designado em uma das aulas de Álgebra da Faculdade: resolver a equação radical [matemática]{x-3}. + 6 = x[/math]. Você pode estar familiarizado com tais problemas, e o método usual de quadratura e sua substituição por uma equação quadrática que pode ser resolvida para [matemática]x[/math] . Os problemas do livro didático são quase sempre configurados de tal forma que você obtém duas soluções racionais da equação quadrática, cada uma das quais deve ser verificada para ser uma solução real da equação radical original. Tipicamente, uma das soluções da equação quadrática é estranha, ou seja, não é uma solução da equação radical, enquanto a outra é. Problema resolvido.

De acordo, procedemos reescrevendo a equação radical como [matemática]\sqrt{x-3} = x - 6,[/math] e quadrando ambos os lados para eliminar a raiz quadrada, obtendo a equação quadrática [matemática]x^2 - 13x + 39 = 0.[/math] That's quando as coisas foram para o sul. As soluções não são números racionais, mas sim surdos: [matemática]x = (13 \pm \sqrt{13})/2 .[/math] Para verificar se uma das duas é uma solução real, temos de substituir de volta à equação original [matemática]\sqrt{x-3} + 6 = x[/math] and ask the question, is

p>[math]sqrt{\i1}{\i1}-esquerda{\i}{\i1}-direita{\i}-3,{\i},{\i},+ 6 {\i},=, {\i1}frac{\i}-esquerda{\i}-esqrt{\i}{\i} \Na pressão do momento, eu não consegui ver como simplificar aquela raiz quadrada de uma raiz quadrada! As duas possibilidades foram submetidas a uma calculadora manual e chegamos à conclusão de que a solução provisória com o sinal inferior não satisfazia a equação, enquanto a outra satisfazia. Problema resolvido [matemática]\ldots[/math] mas não felizmente. Em retrospectiva, teria sido bom ter simplificado um pouco o problema simplificando o radical à esquerda, e multiplicando ambos os lados por [matemática]2, [/math] para trazê-lo à forma

[matemática]{2}, {7 {13 },{13 },{,},+ 12 {13 },=, 13 {13 {13 },? \Eu prometi, naquela noite, olhar mais a fundo para o problema. Na manhã seguinte, aconteceu uma pergunta Quora que me fez lembrar novamente do que eu queria fazer. Não só isso, mas uma dica muito boa para resolver tais problemas foi apresentada em Ajay Patel' a resposta da Ajay à pergunta. Sua resposta e procedimento parecem ter sido praticamente ignorados, então eu gostaria de chamar sua atenção para isso aqui. Ela é baseada nas simples identidades quadradas perfeitas:

p>[matemática]esquerda(x) ^2 = x pm 2^,^sqrt{x} + y = x + ypm \sqrt{4xy},,, {\sqrt*{}[/math]>p>disso se segue que>p>[matemática]{x + y\sqrt {4xy},\,} =lvert{x},\sqrt{x} \PMqrt,rvert,... \Etiqueta... [/math]

Conclusion

Suponha, então, que você tem uma expressão da forma [matemática]sqrt [a {a }pm {brt{b,},},}[/math] Pedimos soluções [matemática]x[/math] e [matemática]y[/math] para as quais

p>[matemática]{a \a \a \a {b,}} =lvert,{x} \PMqrt,rvert,... \T = x = matemático e y = matemático satisfazem as equações [matemática] a = x + y,[/math] e [matemática]b = 4xy,[/math] que reduzem para [matemática]y = a - x,[/math] e soluções [matemática]x[/math] da equação quadrática [matemática]4x^2 - 4ax + b = 0.Estas soluções são facilmente encontradas para ser

[matemática]|begin{align}x &= {a {a ^2 - b}}{2},,|tag{xsol}y &= a - x = ^frac{a ^mp ^sqrt{a^2 - b}}{2},, tags{ysol}end{alinhamento}[/math]

isto é, se [matemática]x[/math] é uma das duas soluções da equação quadrática, então [matemática]y[/math] é a outra. Vemos, então, que o radical aninhado simplifica para uma soma de radicais da forma de equação (T) para todos os valores de [matemática]x[/math] e [matemática]y[/math] satisfazendo equações (xsol) e (ysol), mas estas são reais e distintas se e somente se o discriminante [matemática]d = a^2 - b[/math] for positivo. Talvez mais importante, elas são racionais se e somente se este discriminante for um quadrado perfeito.

Aplicações.

O primeiro caso a aplicar o algoritmo é o problema em questão: [matemática]\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{7 + \sqrt{40}},[/math] com [matemática]a=7,[/math] e [matemática]b = 40.[/math] Temos [matemática]d = a^2 - b = 9,[/math] um quadrado perfeito, daí soluções [matemática]x = (a + \sqrt{d})/2 = (7 + 3)/2 = 5,[/math] e [matemática]y = a - x = 7 - 5 = 2.[/math] Então, como outros encontrados por inspeção, encontramos da equação (T): [matemática]\sqrt{7+2\sqrt{10}} = ||sqrt{5} + \sqrt{2}| = \sqrt{5} + \sqrt{2}.[/math]

Para o problema de Ajay Patel's, a expressão foi [matemática]\sqrt{9-\sqrt{32}},[/math] com [matemática]a = 9[/math], [matemática]b = 32.[/math] Como [matemática]a^2 - b = 81 - 32 = 49,[/math] novamente um quadrado perfeito, as soluções são [matemática]x = (9 - 7)/2 = 1,[/math] e [matemática]y = 9 - 1 = 8,[/math] então temos da equação (T): [matemática]{9-qrt{32}} = |sqrt{1} - 2,2,2,2,2,2 - 1.[/math]

Finalmente, o problema que me desencadeou nesta busca ingrata envolveu o radical [matemática]{7 {\i},[/math] que aparece na equação (q1). Eu provavelmente não seria brilhante o suficiente para obter isso por inspeção, como a maioria dos que resolveram o problema em particular declarado nesta questão fizeram (não dizendo que pode't ser feito, apenas dizendo que eu provavelmente não poderia't t tê-lo feito). Aqui, temos [matemática]a = 7[/math], [matemática]b = 13,[/math] então [matemática]a^2 - b = 36,[/math] também um quadrado perfeito. As soluções são [matemática]x = (7 \pm 6)/2 = {1/2,\, 13/2\},[/math] e [matemática]y = 7 - x = {13/2,\, 1/2\}.[/math] Tomando o sinal superior (segundo membro do conjunto de soluções), temos

[math]{7 + {13}} = |sqrt{1/2} + |sqrt{13/2}},1 = |frac{1}{sqrt{2}},|1 + |sqrt{13},| = |frac{1}{sqrt{2}},(|sqrt{13} + 1},)|,[/math]

enquanto que com o sinal inferior (primeiro membro do conjunto de soluções):

[matemática]|sqrt{7 - |sqrt{13}} = |sqrt{13/2} - |sqrt{1/2},| = |frac{1}{sqrt{2},|sqrt{13} - 1\,| =frac{1}{sqrt{2}},({sqrt{13} - 1\,)|,[/math]

or to summarize: [matemática]{7 \i} {13} = ({13 \i} {13 \i} {2}. [/math] Substituindo este resultado na equação (q1), vemos agora facilmente (sem usar uma calculadora) porque é que o sinal superior dá uma afirmação verdadeira, enquanto que o inferior não dá, daí o sinal superior dá a única solução desse problema.

Qual é o velho ditado, "ele trouxe um canhão para uma luta de facas"? Eu sei, eu não conseguia ver outra maneira na altura.