Qual é a equação de uma linha em coordenadas polares?

Se você já brincou com coordenadas polares, você provavelmente já tentou equações como [matemática]r=sin=teta,r=tan=theta,[/math] e [matemática]r=sectheta.[/math]

aqui estão elas. Em azul, [matemática] r=teta, [matemática] em verde, [matemática] r=teta, [matemática] e em vermelho, [matemática] r=teta. [matemática] Aha! A vermelha é uma linha recta.

Como podemos modificar [matemática]r=seg=theta[/math] para obter outras linhas rectas. Bem, você poderia escalá-la por uma constante para aproximá-la ou afastá-la. Aqui está [matemática]r=2seg. theta[/math] em laranja:

Outra coisa que você pode fazer é mudar a fase do ângulo, ou seja, adicionar um ângulo à [matemática]|theta.[/math] Aqui está o gráfico de [matemática]r=sec(|theta+frac\pi4)[/math] em roxo:

Que rodou o original [matemática]r=\sec\theta[/math] em 45° no sentido dos ponteiros do relógio.

Então, com a escala e o faseamento você pode obter qualquer linha no plano exceto as linhas que passam através da origem. Você precisará saber a distância da origem para o fator de escala, e você precisará saber a direção da linha para determinar a [matemática]\theta.[/math]

Uma linha que passa pela origem terá uma equação como [matemática]\theta=\pi/4[/math] na qual a direção da linha é dada pela constante do lado direito da equação.