Qual é a diferença entre as coordenadas polares e cilíndricas?

A maior diferença é que as coordenadas polares são baseadas em superfícies concêntricas esféricas enquanto que as coordenadas cilíndricas são baseadas em tubos concêntricos. Um terceiro conjunto de coordenadas relacionadas com estas duas é o das coordenadas esféricas. Como o nome indica, ele utiliza esferas concêntricas, mas o sistema de coordenadas que utiliza é muito parecido com o sistema de coordenadas cilíndricas. Ambos têm uma secção transversal que é circular, e cada círculo tem um raio e um ângulo de rotação para localizar qualquer ponto. As coordenadas cilíndricas têm uma terceira coordenada que percorre o comprimento do eixo do cilindro. As coordenadas esféricas têm uma terceira coordenada que é o ângulo de latitude. Mas embora as coordenadas polares e esféricas sejam ambas redondas, os seus sistemas de coordenadas são muito diferentes. As coordenadas esféricas necessitam apenas de 3 valores para localizar um ponto. O polar tem na realidade 4. Uma coordenada é o raio. Mas em vez de trabalhar com 2 ângulos ortogonais, latitude e longitude, as coordenadas polares utilizam três ângulos de projecção de um vector arbitrário para cada um dos três eixos. Os três ângulos representam os ângulos de abertura dos cones em torno de cada um dos três eixos cartesianos. A soma dos quadrados dos cossenos dos três ângulos é 1, o raio. A intersecção das três superfícies é o vetor unitário, mas é necessária a 4ª coordenada, raio, para localizar um ponto.

Este é realmente um caso em que uma imagem vale mais que mil palavras. Eu recomendo que você as procure na Wikipedia ou em qualquer um dos sites de matemática conceituados. Tenho certeza que você encontrará fotos detalhadas e todas as transformações para converter uma para a outra.

Como um pensamento posterior, ocorreu-me que existem dois tipos comuns de coordenadas polares. Cilíndrica é tridimensional então eu assumi que você quis dizer 3D Polar. Se não, a diferença é que as coordenadas cilíndricas normalmente utilizam coordenadas polares 2D para descrever a localização numa secção transversal, e têm uma coordenada adicional para o comprimento ao longo do eixo, normal para a grelha polar.