Um círculo é tangente aos eixos x e y e à linha x+y=8. Quais são as equações do círculo?

Este é um problema interessante. A partir da imagem anexa você vê que existem 4 círculos possíveis que se encaixam nos critérios acima mencionados. 2 círculos são diferentes e 2 círculos são idênticos por lei de simetria. Portanto, há 4 equações a serem calculadas.

Let's começam com o menor círculo com raio r. Ele está inscrito em um triângulo isósceles direito com lados de 8 unidades de comprimento. Isto porque a equação y = -x + 8 tem uma inclinação de -1 e cria um ângulo de 45 graus ao intersectar os eixos x e y. A hipotenusa deste triângulo é 8sqroot2. Como um ponto fora de uma circunferência é equidistante a 2 pontos tangentes na circunferência, 8 - 4sqroot2 deve ser igual a r, ou 2,34 unidades.

Agora a circunferência grande com raio R. Do centro desta circunferência à origem é igual a Rsqroot2. Portanto, a altura do triângulo acima + R deve ser igual a Rsqroot2. Resolva para R = 4/(1- 1/sqroot2) que é igual a aproximadamente 13,7 unidades.

Finalmente os 2 círculos idênticos. Você pode ver que mais uma vez a altura desse triângulo, que é 4sqroot2, é a chave para a figura r'. Na verdade 8sqroot2 é igual ao diâmetro 2r'! Isto é verdade porque a linha paralela a y= -x + 8 está exactamente a esta distância. Então r'= 4sqroot2!

Agora podemos escrever as equações de todos os círculos usando a fórmula (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2. Nestes casos, h e k são iguais aos raios, pois os raios estão à mesma distância da origem.

P>Círculo pequeno : (x-2.34)^2 + (y-2.34)^2 = 2.34^2

Círculo grande: (x-13.7)^2 + (y-13.7)^2 = 13.7^2

3º círculo: (x+5,6)^2 + (y-5,6)^2 = 5,6^2

4º círculo: (x-5.6)^2 + (y+5.6)^2 = 5.6^2

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