O que é uma explicação intuitiva do Teorema de Mercer?

O Teorema de Mercer's é na verdade um análogo de uma Decomposição de Valor Eigenvalue ou Valor Singular. A única diferença aqui é que o kernel é agora um objeto contido num espaço infinito dimensional.

Let's começa com a afirmação mais simples de Mercer's Theorem:

Theorem (Mercer): K : [a,b]^2 ^2 \mathbb{R} [/math] seja uma função simétrica, não-negativa, definida e contínua. Existe uma sequência de funções contabilizáveis [matemática] e uma sequência de números reais positivos [matemática] tal que,
[matemática] K(s,t) = ^sum_{\i = 1^^^ \lambda_i \phi_i(s) \phi_i(t) [/math]

Então porque é que eu comparo isto com uma decomposição matricial? Suponha que [matemática]K_n {S}_n^+[/math] é uma matriz [matemática]n[/math] não negativa definida, simétrica e simétrica. Pelo teorema espectral, existe uma base orto-normal [matemática] [matemática] [matemática] [i=1]^n[/math] tal que [matemática] K_n[/math] é diagonal nesta base. Mas o que é que isto significa exactamente? Genericamente, isto significa que existe uma matriz unitária, [matemática] U = esquerda [matemática] [1], [matemática] [2], [2] pontos [matemática] [4] e uma matriz diagonal, Lambda = {diag}(lambda_1, lambda_1, lambda_n) [/math] tal que [matemática] K_n = U Lambda U^T [/math]. Mas se multiplicarmos isto, isto simplesmente diz que [matemática] K_n = ^^Sum_{i=1}^{n} \lambda_i {e}_i ^T [/math], que é exactamente como o Teorema de Mercer's.

A única diferença aqui é que os nossos 'eigenvectores' são simplesmente funções [matemática]\phi_i(s)[/math] em oposição a simples vectores [matemática]\i[/math]. Entretanto, o espaço [matemática] [a,b]^2[/math] é um espaço compacto, Hausdorff, contracível e, portanto, o conjunto de funções integráveis ao quadrado, [matemática]L^2([a,b]^2)[/math] tem uma base orto-normal, contabilizável.

Um exemplo simples disto é quando [matemática]a = 0, b=1[/math]. Então uma base contável, orthonormal para [matemática]L^2([0,1]^2)[/math] é simplesmente os sinusoidais, [matemática]\phi_{n,m}(x,y) = \exp(i \pi(nx+my) )[/math]. Nesta situação, note que a condição de simetria extra no núcleo em Mercer's Theorem nos força a expandir apenas na base [matemática]\phi_{n}(x) := \phi_{n.n}(x) = \exp(i\pi n(x+y))[/math].

[0] Esta é uma matriz com [matemática]i[/math]th column igual a [matemática]\mathbf{e}_i[/math]; Quora's A implementação do Modo Matemático LaTeX é realmente muito ruim com matrizes e eu não poderia't escrever isto corretamente.