Você pode conectar o Chromecast ao Wi-Fi público?

Não directamente. Há vários cenários diferentes a considerar:

1. Se é um "WiFi público" que é semelhante a uma rede WiFi doméstica, então embora possa ser possível configurá-lo, qualquer outra pessoa com uma aplicação compatível com Chromecast ou um navegador Chrome num portátil pode assumir o controlo do Chromecast.
2. algumas redes WiFi são configuradas com um bloco que impede um dispositivo na rede WiFi de comunicar com qualquer outro dispositivo na rede. Podem aceder à Internet, mas sem ligação de um dispositivo a outro na mesma rede não é possível controlar o Chromecast.
3. Se o "WiFi público" for uma daquelas redes que exigem que se inicie sessão numa página de destino antes de poder aceder à Internet, então não tem forma de iniciar sessão no Chromecast através da página de destino.
4. Pode haver restrições de largura de banda que impeçam o Chromecast de transmitir vídeos da Internet.
5. Se estiver a utilizar o "WiFi público" está a exibir o Chromecast num ecrã público. Se assim for, pode haver problemas de licenciamento associados a certos sites. Alguns sites têm restrições de exibir seu material ao público em geral.
6. se você estiver usando "WiFi público" em uma situação privada, por exemplo, se você estiver ao alcance do WiFi gratuito de um café, a menos que você tenha permissão para usar o WiFi, então você está cometendo roubo.

Como foi sugerido em outra resposta, usando um laptop Windows 10 e seu hotspot WiFi com o Chromecast conectado ao hotspot, pode resolver os pontos 1 a 3 acima. Você vai precisar de outro dispositivo WiFi para configurar o Chromecast para trabalhar com o hotspot do laptop. Uma vez configurado, o dispositivo extra pode ser descartado.