O que significa se eu tiver '10 GB' para usar na Internet?

Significa que você só pode baixar 10 GB de dados, ou 10.737.418.240 bytes por mês. Depois disso, eles irão cobrar mais, interromper a sua conexão, ou diminuir significativamente a velocidade.
10GB é normalmente suficiente para uma pessoa navegando na web sem ver vídeos, por exemplo, e-mail, Facebook etc, mas o vídeo pode consumir uma grande quantidade de dados, dependendo da qualidade do vídeo.
YouTube normalmente tem seus vídeos em várias versões de qualidade, até a qualidade total originalmente carregada. Quanto maior a qualidade, mais dados cada frame do vídeo consome (os específicos são muito técnicos, então I'vai deixar de fora). O que I'estou supondo que está acontecendo é que você tem uma conexão razoavelmente rápida, e que o YouTube está configurado para configurações de qualidade "Auto", então escolherá o fluxo de vídeo da mais alta qualidade. Isto então usa seus dados muito rapidamente.
Se você vai assistir programas pela internet, então eu sugiro que você atualize seu limite ou obtenha uma conexão ilimitada. Alternativamente, você poderia definir manualmente os vídeos que assiste para uma configuração de baixa qualidade para minimizar o uso de dados, mas isso é't vai ser ótimo para assistir documentários!
Existem algumas boas respostas sobre a quantidade de dados que os vídeos do YouTube realmente usam aqui: Quantos dados consome um vídeo do YouTube?

Tive um problema semelhante quando tinha um telefone 4G com um pequeno limite de dados (1GB). Todos os sites de vídeos tinham um fluxo de alta qualidade, pois a conexão era muito rápida, mas depois eu estava usando o limite de um mês's em menos de uma hora!

Eu tenho uma família de quatro, e nós vemos um monte de vídeos online por mês (incluindo o download do vídeo para o nosso STB) e o consumo mensal típico é de cerca de 150GB.