Como estudar Álgebra Linear

Okay Eu claramente me preocupo demais com o ensino da Álgebra Linear:

I. Os Dois Níveis de Álgebra Linear

Há dois níveis de compreensão da Álgebra Linear que eu acho mais relevantes:

EDIT: Eu acabei de perceber o quão facilmente meus conselhos aqui podem ser mal interpretados. Quero salientar que (2) não pretende representar todo o material "abstracto", mas sim uma certa tendência pedagógica no ensino da álgebra linear "avançada" que tenta evitar matrizes (e por vezes até o determinante... Axler faz'só o faz no Capítulo 10 ou algo assim). Pensar em matrizes e vetores como objetos abstratos e introduzir a noção de "espaço vetorial" etc. ainda conta como (1) e é na verdade feito em, digamos, Strang's books/lectures, e é definitivamente parte dos fundamentos. Eu faço esse contraste principalmente para combater a idéia de que de alguma forma "se você é inteligente, você deve apenas fazer Álgebra Linear feita corretamente e nunca pensar em matrizes", o que eu acho que é uma armadilha para iniciantes "inteligentes". Eu acho que a abstração de espaços vetoriais é valiosa, mesmo para (1). Peço desculpas por esta confusão e mudei ligeiramente a minha redacção.

1) usando matrizes como foco. Esta é a escola Strang, que advoga que o melhor método é jogar com matrizes através de cálculos concretos. Para isso, as notas de palestra de Strang's no OCW do MIT é concordado por muitos para ser o melhor recurso (as opiniões sobre seu livro são mais misturadas, mas eu pessoalmente ainda acho que elas são úteis). Se você vê a álgebra linear como uma ferramenta que você quer usar ao invés de uma história que você quer aprender. I'd aconselho-o a parar aqui e aprender a usar a ferramenta em cálculos reais. Se você for um pouco mais ambicioso, talvez consiga alguns projetos envolvendo MATLAB, Mathematica, Maple, ou SAGE. Ver números reais ajuda muito. É por isso que pessoas como Alan Edelman são ridículas com matrizes.

2) usando álgebra linear abstrata como foco. Esta é a abordagem "Álgebra Linear feita corretamente" que eu acho horrível se você só quer aprender como uma ferramenta. Para, digamos, um estudante de matemática, isso se torna indispensável (entretanto, a maioria das pessoas que ensinamos don' não nos tornamos estudantes de pós-graduação, um fato que nós matemáticos somos horríveis em lembrar). Axler'o livro de Axler&apos é muito bom nisso, mas uma jóia que eu não'não vejo recomendado o suficiente é Paul Halmos' The Linear Algebra Problem Book. Enquanto as pessoas realmente deveriam apenas ler qualquer coisa de Paul Halmos, eu achei essa coleção particularmente útil e agradável. Como um bônus, eu acho que mesmo as pessoas que estão apenas interessadas em (1) podem ganhar um pouco deste livro.

Eu acho que a menos que você tenha algum talento, pular para (2) diretamente, mesmo que você o entenda, não o torna bom em (1). Foi dito (I' estou tomando ligeira liberdade) que os melhores matemáticos se recusarão a reconhecer filas e colunas de números, mas quando a noite chegou e a terra está escura e seus pais estão' não olhando, eles estão em seus escritórios secretamente lutando para multiplicar matrizes (e muitas vezes errando). Para a maioria do mundo que usa matemática (ou seja: não matemáticos), aprender (1) solidamente e fazer (2) como diversão/inspiração parece ser o melhor e o caminho mais indolor a seguir. Se você fizer isso, tenha orgulho de estar aprendendo Álgebra Linear Feita Errado, porque ainda é álgebra linear e ainda é incrível.

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II. A Preparação Mental para Álgebra Linear

Outra coisa que eu realmente quero mencionar é que a Álgebra Linear é uma grande refeição para a maioria dos recém-chegados, então ter "princípios orientadores" em sua mente enquanto você aprende irá acelerar o processo. Aqui estão os 3 que achei mais úteis para os meus alunos e para mim:

1) manter uma lista de "coisas equivalentes" à invertibilidade. Você'perceberá que muitos conceitos se concentram dessa forma, desde valores próprios até a resolução de equações, passando pela classificação e levando inversos de matriz. Pessoas que são experientes fazem essas coisas de forma bastante automática, mas pode levar algum tempo para se acostumar a isso se você for novo.

2) sempre pense em como pegar o "esqueleto" de uma matriz que capta a maior parte de sua essência. O exemplo mais claro disso é um segredo sujo: os matemáticos (e especialmente os físicos) gostam de "esmagar o olho" em uma matriz e ver apenas uma matriz diagonal com os valores próprios na diagonal, então eles fazem afirmações inteligentes sobre a matriz e depois a justificam com transformações de similaridade e (o céu proíbe) a forma Jordânia.

3) (um pouco mais relevante para o pensamento abstrato, mas útil para ambos) as matrizes sempre têm duas interpretações: uma como uma transformação que come vetores e cospe vetores; a outra como uma forma bilinear que come dois vetores e cospe um número. Para matar a sua confusão em 80%, lembre-se sempre mentalmente em que mundo você está. Isto também o ajuda a lembrar quando você precisa envolver sua matriz por algo e seu inverso (o primeiro) e quando você precisa envolver sua matriz por algo e sua transposição (o último).

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III. A Aplicação da Álgebra Linear

Isto é para aprender um curso de Álgebra Linear. Claro, há também como ver álgebra linear no resto do mundo, que para mim é uma parte importante dela (mas ei, se você realmente só se importa com o curso, pare de ler. A sua própria perda). Para isso, vejo duas coisas principais:

1) procure por uma matriz. Sempre que há uma transformação, como uma projeção, há uma matriz. Let's vai um passo além: sempre que você tiver variáveis independentes, você pode pensar nelas como "transformando" em variáveis dependentes. Se você for Occam's razor e assumir que isto é linear (a maioria das coisas são, ou podem ser estimadas), você tem uma transformação! Eu acho que isto (ter variáveis independentes e dependentes) é a razão número um para a álgebra linear surgir na ciência. Eu realmente desejava que alguém me dissesse isso antes, então eu'estou dizendo isso agora. Muita aprendizagem de máquina, econometria e estatística realmente se resume a isso (exceto que o ML chama as variáveis de "características" para serem bisbilhoteiras).
2) a parte mais digna de aplicação da álgebra linear é a análise de componentes principais, também conhecida como um milhão de outros nomes, já que cada campo a redescobre e coloca seu próprio nome nela. O exemplo de brinquedo que tenho na minha cabeça é quando você tem muitos pontos em um gráfico 2-D que cai em uma linha - don'você realmente não quer pensar nisso como uma linha em uma dimensão? Parabéns, você'descobri a análise dos componentes principais 1-d (ou regressão linear; eu não'não penso nos dois como muito diferente =D).

Safe winds.